《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

3. 利用旋转的性质求几何图形的面积
典例 4 如图，$\triangle ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转$45^{\circ}$得到$\triangle AB'C'$. 若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = \sqrt{2}$，求图中阴影部分的面积.

答案： 解析：根据题意结合旋转及等腰直角三角形的性质可得出$AD = \frac{1}{2}BC = 1$，由勾股定理可知$AF = FC' = 1$，进而求出阴影部分的面积.
解：$\because\triangle ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转$45^{\circ}$得到$\triangle AB'C'$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = \sqrt{2}$，$\therefore AC' = AC = \sqrt{2}$，$\angle C = \angle B = \angle CAC' = \angle C' = 45^{\circ}$. $\therefore$易得$\angle ADC = \angle AFB' = 90^{\circ}$. $\therefore AD\perp BC$，$B'C'\perp AB$. 由勾股定理，得$BC = \sqrt{AB^{2}+AC^{2}} = 2$. $\therefore AD = BD = \frac{1}{2}BC = 1$. 易得$AF = FC' = 1$. 设$DE = x$，则易得$C'E = \sqrt{2}x$. $\therefore EF = C'F - C'E = 1-\sqrt{2}x$. $\therefore BE = \sqrt{2}EF = \sqrt{2}-2x$. $\because DE + BE = BD = 1$，$\therefore x + \sqrt{2}-2x = 1$，解得$x = \sqrt{2}-1$. $\therefore DE = DC' = \sqrt{2}-1$. $\therefore S_{阴影} = S_{\triangle AFC'} - S_{\triangle DEC'} = \frac{1}{2}×1×1 - \frac{1}{2}×(\sqrt{2}-1)^{2} = \sqrt{2}-1$.

4. 利用旋转的性质探究不变的量
典例 5（2023·宜宾改编）如图，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是以$A$为直角顶点的等腰直角三角形，把$\triangle ADE$以点$A$为中心按顺时针方向旋转，$M$为射线$BD$，$CE$的交点. 试探究：在旋转过程中，线段$BD$，$CE$的大小关系与位置关系，并加以证明.

答案： 解析：证$\triangle ABM\cong\triangle ACE$（$SAS$）可得$BD$与$CE$相等；设$AC$与$BM$相交于点$F$，由$\triangle ABD\cong\triangle ACE$得$\angle ABD=\angle ACE$，在$\triangle ABF$与$\triangle MCF$中，得到两组角分别相等，从而推出第三组角相等，可得$BD$与$CE$互相垂直.
解：线段$BD$与$CE$相等且互相垂直.
设$BD$，$AC$相交于点$F$.
由旋转的性质，得在旋转过程中，$\triangle AED$的大小、形状均不会改变.
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\because AB = AC$，$\angle BAD = \angle CAE = 90^{\circ}+\angle CAD$，$AD = AE$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE$. $\therefore BD = CE$，且$\angle ABD=\angle ACE$. $\because\angle ABF=\angle MCF$，$\angle AFB=\angle MFC$，$\therefore\angle BAF=\angle CMF = 90^{\circ}$. $\therefore BD\perp CE$.
综上所述，线段$BD$与$CE$相等且互相垂直.
方法归纳
等腰三角形“手拉手”旋转中隐含的全等三角形
旋转问题中有一类题：两个有公共顶点，且形状相同（大小可以不同）的等腰三角形，其中一个三角形绕公共顶点旋转，此时连接两个三角形的另外两对“对应点”，与原来的两对“对应边”构成的两个新的三角形是全等三角形，其判定用“SAS”，“夹角”相等的证明方法是等量加等量和相等或等量减等量差相等. 此类题在“旋转”中出现频率较高.