《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 1 把如图所示的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角的度数至少为(C)

A.$30^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

答案： 解析：根据图形的特点，用$360^{\circ}$除以$3$计算即可. 因为$360^{\circ}÷3 = 120^{\circ}$，所以旋转的角度是$120^{\circ}$的整数倍. 所以旋转角的度数至少为$120^{\circ}$.
答案：C.

1. 利用旋转的性质求角的度数
典例 2(湘西中考改编)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$CB = CD$，将边$CA$绕点$C$旋转到$CE$的位置，使得$\angle ECA=\angle DCB$，连接$DE$与$AC$交于点$F$. 若$\angle B = 70^{\circ}$，$\angle A = 10^{\circ}$，则$\angle AFE=$$50^{\circ}$.

答案： 解析：因为$\angle ECA=\angle DCB$，所以$\angle ECA+\angle ACD=\angle DCB+\angle ACD$，即$\angle ECD=\angle ACB$. 由旋转的性质，可得$CE = CA$. 又因为$CD = CB$，所以$\triangle DCE\cong\triangle BCA$. 所以$\angle CDE=\angle B = 70^{\circ}$. 因为$CB = CD$，所以$\angle B=\angle CDB = 70^{\circ}$. 所以$\angle EDA = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-70^{\circ}×2 = 40^{\circ}$. 所以$\angle AFE=\angle EDA+\angle A = 40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$.
答案：$50^{\circ}$.

2. 利用旋转的性质求线段的长度
典例 3(黔东南中考)如图①，在边长为$2$的正方形$ABCD$中，若将$AB$绕点$A$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，使点$B$落在点$B'$的位置，连接$BB'$，过点$D$作$DE\perp BB'$，交$BB'$的延长线于点$E$，则$B'E$的长为(A)

A.$\sqrt{3}-1$
B.$2\sqrt{3}-2$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$

答案： 解析：如图②，延长$BE$，$AD$相交于点$F$. 易得$\triangle ABB'$为等边三角形，所以$BB' = AB = 2$，$\angle ABB' = 60^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$. 所以$BF = 2AB = 4$. 所以$AF = \sqrt{BF^{2}-AB^{2}} = 2\sqrt{3}$. 所以$DF = 2\sqrt{3}-2$. 因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，所以$DE = \frac{DF}{2} = \sqrt{3}-1$. 所以$EF = \sqrt{DF^{2}-DE^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3}-2)^{2}-(\sqrt{3}-1)^{2}} = 3-\sqrt{3}$. 所以$B'E = BF - BB' - EF = 4 - 2 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$.
答案：A.
方法归纳
利用旋转的性质求线段长度的一般方法
由旋转的性质得出特殊图形(如本题中的等边三角形$ABB'$)，再转化、整合条件，构建新的特殊图形(如本题中的$Rt\triangle ABF$，$Rt\triangle DEF$)，结合勾股定理等知识综合解题.