《2025年大联考单元期末测试卷七年级数学上册沪科版》

18. 如图,用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带,探究纸片张数$n$与纸带周长$l$的关系,设每个正五边形的边长为1.


根据以上图表规律,解答下列问题:
(1) 表格中“?”处应填写17;当$n = 10$时,$l =$32.
(2) 纸带周长可能等于2 025吗? 请说明理由.

答案： 18. 解：
(1)由所给图形可知,
纸片张数为1时,纸带周长$l$为$5 = 1×3 + 2$;
纸片张数为2时,纸带周长$l$为$8 = 2×3 + 2$;
纸片张数为3时,纸带周长$l$为$11 = 3×3 + 2$;
纸片张数为4时,纸带周长$l$为$14 = 4×3 + 2$;
……
所以纸片张数为$n$时,纸带周长$l$为$3n + 2$.
当$n = 5$时,$3n + 2 = 17$;
当$n = 10$时,$3n + 2 = 32$.
故答案为17;32.(4分)
(2)纸带周长不可能等于2025.理由如下：
令$3n + 2 = 2025$,解得$n = \frac{2023}{3}$.
因为$n$为正整数,所以纸带周长不可能等于2025.(8分)

19. 已知$A = 2x^{2} - 6ax + 3$,$B = -7x^{2} - 8x - 1$.
(1) 当$a = -2$时,求$A - 3B$的结果.
(2) 若$A + B$的结果中不含$x$的一次项,求$a$的值.

答案： 19. 解：
(1)因为$A = 2x^2 - 6ax + 3$,$B = -7x^2 - 8x - 1$,$a = -2$,
所以$A - 3B = 2x^2 - 6ax + 3 + 21x^2 + 24x + 3$
=$23x^2 + (24 - 6a)x + 6$
=$23x^2 + [24 - 6×(-2)]x + 6$
=$23x^2 + 36x + 6$.(5分)
(2)因为$A = 2x^2 - 6ax + 3$,$B = -7x^2 - 8x - 1$,
所以$A + B = 2x^2 - 6ax + 3 - 7x^2 - 8x - 1 = -5x^2 - (6a + 8)x + 2$.(7分)
因为$A + B$的结果中不含$x$的一次项,所以$6a + 8 = 0$,解得$a = -\frac{4}{3}$.(10分)

20. 如图1,已知线段$CD = 9$,点$E$在线段$CD$上,延长$DC$到点$F$,使$EF = 12$.

(1) 若$CE = 3$,求线段$DF$的长.
(2) 若线段$CE$的长恰好等于线段$DF$的长的一半,求线段$CE$的长.
(3) 如图2,取线段$DE$的中点$M$,线段$CF$的中点$N$,求线段$MN$的长.

答案： 20. 解：
(1)因为$CD = 9$,$EF = 12$,$CE = 3$,
所以$DF = EF + CD - CE = 12 + 9 - 3 = 18$,
所以线段$DF$的长为18.(2分)
(2)设$CE = x$.
因为$CD = 9$,$EF = 12$,所以$DF = EF + CD - CE = 12 + 9 - x = 21 - x$.(4分)
由题意,得$x = \frac{1}{2}(21 - x)$,解得$x = 7$,所以线段$CE$的长为7.(6分)
(3)设$CE = x$.
因为$CD = 9$,$EF = 12$,
所以$DE = CD - CE = 9 - x$,$CF = EF - CE = 12 - x$,
$DF = EF + CD - CE = 12 + 9 - x = 21 - x$.
因为点$M$是$DE$的中点,点$N$是$CF$的中点,
所以$DM = \frac{1}{2}DE = \frac{9 - x}{2}$,$FN = \frac{1}{2}CF = \frac{12 - x}{2}$,
所以$MN = DF - DM - FN = 21 - x - \frac{9 - x}{2} - \frac{12 - x}{2} = 10.5$,
即线段$MN$的长为10.5.(10分)