《2025年大联考单元期末测试卷七年级数学上册沪科版》

21. 核心素养·几何直观如图,已知$∠BOC = 2∠AOB$,$OD$平分$∠AOC$.
(1)请你利用直尺和量角器,根据题意在现有图形中补全图形.
(2)当$∠BOD = 30^{\circ}$时,求$∠AOB$的度数.

答案：
21.解:
(1)如图所示，即为所求.(4分)

(2)当$OC$与$OB$在$OA$同侧时，如图1所示.
因为$\angle BOC = 2\angle AOB$，所以$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 3\angle AOB$.
因为$OD$平分$\angle AOC$，所以$\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{3}{2}\angle AOB$，
所以$\angle BOD = \angle AOD - \angle AOB = \frac{3}{2}\angle AOB - \angle AOB = \frac{1}{2}\angle AOB = 30°$，
所以$\angle AOB = 60°$；(8分)
当$OC$与$OB$在$OA$异侧时，假设存在对应图（此处原文档未给出图2的img标签，但根据逻辑补充说明）。
因为$\angle BOC = 2\angle AOB$，所以$\angle AOC = \angle BOC - \angle AOB = \angle AOB$.
因为$OD$平分$\angle AOC$，所以$\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB$，
所以$\angle BOD = \angle AOD + \angle AOB = \frac{1}{2}\angle AOB + \angle AOB = \frac{3}{2}\angle AOB = 30°$，
所以$\angle AOB = 20°$.(12分)

22. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点$A$,$B$表示的数分别为$a$,$b$,则$A$,$B$两点之间的距离$AB = |a - b|$,线段$AB$的中点表示的数为$\frac{a + b}{2}$.
【问题情境】如图,数轴上点$A$表示的数为$-2$,点$B$表示的数为8,点$P$从点$A$出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点$Q$从点$B$出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为$t\ s(t ＞ 0)$.
【综合运用】
(1)填空:
①$A$,$B$两点间的距离$AB =$10,线段$AB$的中点表示的数为3;
②用含$t$的代数式表示:$t\ s$后,点$P$表示的数为-2 + 3t,点$Q$表示的数为8 - 2t.
(2)求当$t$为何值时,$P$,$Q$两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)若点$M$为$PA$的中点,点$N$为$PB$的中点,点$P$在运动过程中,线段$MN$的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段$MN$的长.

答案： 22.解:
(1)①$10$，3.②$-2 + 3t$，$8 - 2t$.(4分)
(2)因为当$P$，$Q$两点相遇时，$P$，$Q$两点表示的数相等，
所以$-2 + 3t = 8 - 2t$，解得$t = 2$，(6分)
所以当$t = 2$时，$P$，$Q$两点相遇，
此时$-2 + 3t = -2 + 3×2 = 4$，所以相遇点表示的数为$4$.(8分)
(3)不变.理由如下:
因为点$M$表示的数为$\frac{-2 + (-2 + 3t)}{2} = \frac{3t}{2} - 2$，
点$N$表示的数为$\frac{8 + (-2 + 3t)}{2} = \frac{3t}{2} + 3$，(10分)
所以$MN = |(\frac{3t}{2} - 2) - (\frac{3t}{2} + 3)| = |\frac{3t}{2} - 2 - \frac{3t}{2} - 3| = 5$.(12分)