《2025年大联考单元期末测试卷七年级数学上册沪科版》

19. 若$∠\alpha$和$∠\beta$均为大于$0^{\circ}$小于$180^{\circ}$的角,且$|∠\alpha - ∠\beta| = 60^{\circ}$,则称$∠\alpha$和$∠\beta$互为“伙伴角”.根据这个约定,回答下列问题:
(1)若$∠\alpha$和$∠\beta$互为“伙伴角”,当$∠\alpha = 130^{\circ}$时,求$∠\beta$的度数.
(2)如图,将一长方形纸片沿着$EP$对折(点$P$在线段$BC$上,点$E$在线段$AB$上)使点$B$落在点$B'$.若$∠1$与$∠2$互为“伙伴角”,求$∠3$的度数.

答案： 19.解:
(1)因为$\angle \alpha$和$\angle \beta$互为“伙伴角”，
所以$|\angle \alpha - \angle \beta| = 60°$，
所以$\angle \alpha - \angle \beta = 60°$或$\angle \beta - \angle \alpha = 60°$.
因为$\angle \alpha = 130°$，
所以$\angle \beta = 70°$或$\angle \beta = 190°$.
又因为$\angle \alpha$和$\angle \beta$均为大于$0°$小于$180°$的角，
所以$\angle \beta = 70°$.(4分)
(2)由折叠的性质，得$\angle 1 = \angle 3$.
因为$\angle 1$与$\angle 2$互为“伙伴角”，
所以$|\angle 1 - \angle 2| = 60°$，
所以$\angle 1 - \angle 2 = 60°$或$\angle 2 - \angle 1 = 60°$.(6分)
因为$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$，$\angle 1 = \angle 3$，
所以$2\angle 3 + \angle 2 = 180°$，
所以$2\angle 3 + \angle 3 - 60° = 180°$或$2\angle 3 + \angle 3 + 60° = 180°$.
由$2\angle 3 + \angle 3 - 60° = 180°$，解得$\angle 3 = 80°$；
由$2\angle 3 + \angle 3 + 60° = 180°$，解得$\angle 3 = 40°$.
综上所述，$\angle 3$的度数为$80°$或$40°$.(10分)

20. 如图,已知线段$AB = 15cm$,$CD = 3cm$,点$E$是$AC$的中点,点$F$是$BD$的中点.

(1)若$AC = 4cm$,求线段$CF$的长.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上从左向右或从右向左运动时(点$C$,$D$不与点$A$,$B$重合),试判断线段$EF$的长度是否发生变化?若不变,请求出线段$EF$的长;若变化,请说明理由.

答案： 20.解:
(1)因为$AC = 4cm$，$CD = 3cm$，$AB = 15cm$，
所以$BD = AB - AC - CD = 15 - 4 - 3 = 8(cm)$.(2分)
因为点$F$是$BD$的中点，
所以$DF = \frac{1}{2}BD = 4cm$，
所以$CF = CD + DF = 3 + 4 = 7(cm)$.(5分)
(2)线段$EF$的长度不发生变化.理由如下:
因为点$E$是$AC$的中点，点$F$是$BD$的中点，
所以$AE = \frac{1}{2}AC$，$BF = \frac{1}{2}BD$，(8分)
所以$EF = AB - AE - BF = AB - \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BD = AB - \frac{1}{2}(AC + BD) = 15 - \frac{1}{2}×(15 - 3) = 9(cm)$.(10分)