《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

23. (13分)(沈阳浑南期末)
我们规定将数轴上某一点P表示的数记为$ x _ { P } $,对于数轴上不同的三个点A,B,C,若有$ x _ { B } - x _ { C } = k ( x _ { A } - x _ { C } ) $,其中k为有理数,则称B是点A关于点C的“k倍友好点”.如图,已知在数轴上,原点为O,点M、点N表示的数分别为$ x _ { M } = - 2 $,$ x _ { N } = 4 $.
(1)若N是点M关于原点O的“k倍友好点”,求k的值.
(2)若T是点M关于点N的“3倍友好点”,求$ x _ { T } $的值.
(3)点Q在数轴上运动(不与M,N两点重合),$ M ^ { \prime } $是点M关于点Q的“3倍友好点”,$ N ^ { \prime } $是点N关于点Q的“k倍友好点”.当点Q运动时,点Q表示的数为$ x _ { Q } $.
①若$ k = 3 $,求$ M ^ { \prime } N ^ { \prime } $的长(若$ M ^ { \prime } N ^ { \prime } $的长是定值,请求出这个定值;若$ M ^ { \prime } N ^ { \prime } $的长不是定值,请用含$ x _ { Q } $的代数式表示).
②若$ k = 2 $,点Q在数轴上运动的过程中,当$ M ^ { \prime } N ^ { \prime } = M N $时,请直

接

写

出

$ x _ { Q } $的值.

答案： 23.解：
(1)
∵$x_{N}-x_{0}=k(x_{M}-x_{0})，$
∴4=-2k，解得k=-2.
(2)
∵$x_{T}-x_{N}=3(x_{M}-x_{N})，$
∴$x_{T}-4=3×(-2-4)，$解得$x_{T}=-14.$
(3)①
∵$x_{M}-x_{Q}=3(x_{M}-x_{Q})，$$x_{N}-x_{Q}=3(x_{N}-x_{Q})，$
∴$x_{M}-x_{Q}=3×(-2-x_{Q})，$$x_{N}-x_{Q}=3×(4-x_{Q})，$
∴$x_{M}=-6-2x_{Q}，$$x_{N}=12-2x_{Q}，$
∴M'N'=|$x_{M}-x_{N}$|=|$-6-2x_{Q}-(12-2x_{Q})$|=18.
②
∵$x_{N}-x_{Q}=2(x_{N}-x_{Q})，$
∴$x_{N}-x_{Q}=2×(4-x_{Q})，$
∴$x_{N}=8-x_{Q}，$
∵$x_{M}=-6-2x_{Q}，$
∴M'N'=|$x_{M}-x_{N}$|=|$-6-2x_{Q}-(8-x_{Q})$|=|$-14-x_{Q}$|，
∵M'N'=MN，
∴|$-14-x_{Q}$|=6，
∴$-14-x_{Q}=6$或$-14-x_{Q}=-6，$解得$x_{Q}=-20$或$x_{Q}=-8.$