《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

22. (12分)
【感悟体验】
(1)如图1, $ A $, $ B $, $ C $ 三点在同一直线上, 点 $ D $ 在线段 $ AC $ 的延长线上, 且 $ AB = CD $, 请仅用一把圆规在图中确定点 $ D $ 的位置(要求: 作好图后, 用 $ D $ 标示出来).
【认识概念】
在同一直线上依次有 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 四点, 且 $ AB = CD $, 那么称 $ AB $ 与 $ CD $ 互为“对称线段”, 其中 $ AB $ 为 $ CD $ 的“对称线段”, $ CD $ 亦为 $ AB $ 的“对称线段”.
(2)如图2, 下列情形中 $ AB $ 与 $ CD $ 互为“对称线段”的是③(填序号).
① $ AB = 2 $, $ CD = 3 $
② $ AB = 1 $, $ BC = 2 $, $ BD = 4 $
③ $ AC = 2 $, $ BD = 2 $
【运用概念】
(3)如图3, $ AB $ 与 $ CD $ 互为“对称线段”, $ M $ 为 $ AC $ 的中点, $ N $ 为 $ BD $ 的中点, 且 $ AB = 2 $.
①若 $ AD = 12 $, 求 $ AM $ 的长;
②若 $ AC = 12 $, 求 $ MN $ 的长.
【拓展提升】
(4)如图4, 在同一直线上依次有 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 四点, $ CD = 2AB $ 且 $ AB = k $($ k $ 为常数), $ M $ 为 $ AC $ 的中点, 点 $ N $ 在 $ BD $ 上且 $ ND = mBD $. 是否存在 $ m $ 的值使得 $ MN $ 的长为定值? 若存在, 请求出 $ m $ 的值以及这个定值(用含 $ k $ 的代数式表示); 若不存在, 请说明理由.

答案：
22.解:
(1)以点$C$为圆心，$AB$的长为半径作弧，交直线$AB$于点$D$，则点$D$即为所求作，如答图:
　　　　
(2)③ [解析]①$AB = 2\neq CD$，故①不符合题意；②$CD = BD - BC = 4 - 2 = 2\neq AB$，故②不符合题意；③设$BC = x$，则$AB = AC - BC = 2 - x$，同理可得$CD = 2 - x = AB$，故③符合题意。
(3)设点$A$对应的数为$a$，点$C$对应的数为$c$，则点$B$，$D$对应的数分别为$a + 2$，$c + 2$，则点$M$对应的数为$\frac{1}{2}(a + c)$，点$N$对应的数为$\frac{1}{2}(a + c + 4)$。
①当$AD = 12$，即$c + 2 - a = 12$，则$c - a = 10$，则$AM = \frac{1}{2}(a + c) - a = 5$。
②当$AC = 12$，即$c - a = 12$，则$MN = \frac{1}{2}(a + c + 4) - \frac{1}{2}(a + c) = 2$。
(4)存在，设点$A$对应的数为$s$，点$C$对应的数为$t$，则点$B$，$D$对应的数分别为$k + s$，$t + 2k$，则点$M$对应的数为$\frac{1}{2}(s + t)$，而$ND = mBD = m(t + 2k - k - s) = m(k + t - s)$，则点$N$对应的数为$t + 2k - mk - mt + ms$，则$MN = (t + 2k - mk - mt + ms) - \frac{1}{2}(s + t) = (s - t)(m - \frac{1}{2}) + k(2 - m)$，当$m = \frac{1}{2}$时，$MN$为定值$\frac{3k}{2}$。