《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

19. (8分)
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动, 他们利用边长为 $ a(cm) $ 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒, 图2为有盖的长方体纸盒), 请你动手操作验证并完成任务. (纸板厚度及接缝处忽略不计)
【动手操作一】
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子. 方法: 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 $ b(cm) $ 的小正方形, 再沿虚线折合起来.

【问题解决】
(1)该长方体纸盒的底面边长为(a-2b) cm. (用含 $ a $, $ b $ 的代数式表示)
(2)若 $ a = 12 cm $, $ b = 3 cm $, 则长方体纸盒的底面积为36 $ cm^{2} $.
【动手操作二】
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒. 方法: 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 $ b(cm) $ 的小正方形和两个同样大小的小长方形, 再沿虚线折合起来.
【拓展延伸】
(3)求该长方体纸盒的体积.
(4)现有两张边长 $ a $ 均为30 cm的正方形纸板, 分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子. 若 $ b = 5 cm $, 求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍.

答案： 19.解:
(1)$(a - 2b)$
(2)36
(3)折叠成长方体纸盒的长为$(a - 2b)cm$，宽为$\frac{a - 2b}{2}cm$，高为$bcm$，所以体积为$(a - 2b)·\frac{a - 2b}{2}· b = \frac{b(a - 2b)^2}{2}(cm^3)$。
(4)按照题图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积为$b(a - 2b)^2cm^3$，按照题图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积为$\frac{b(a - 2b)^2}{2}cm^3$，所以按照题图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积是按照题图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积的2倍。