《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

22.（12分）（丹东期末，有改编）
已知$A$，$B$，$P$为数轴上三点，我们规定：点$P$到点$A$的距离是点$P$到点$B$的距离的$k$倍，则称$P$是$[A,B]$的“$k$倍点”，记作$P[A,B] = k$. 例如：若点$P$表示的数为0，点$A$表示的数为$-2$，点$B$表示的数为1，则$P$是$[A,B]$的“2倍点”，记作$P[A,B] = 2$.
（1）如图，$A$，$B$，$P$为数轴上三点.
①求$P[B,A]$.
②若点$C$在数轴上且$C[A,B] = 1$，求点$C$表示的数.
③$D$是数轴上一点，且$D[A,B] = 3$，求点$D$表示的数.
（2）在数轴上，点$E$表示的数为$-10$，点$F$表示的数为50，从某时刻开始，若点$M$从原点$O$出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点$M$的速度为每秒5个单位长度，设运动时间为$t$秒$(t ＞ 0)$. 当$M[E,F] = 4$时，求$t$的值.

答案： 22.解：
(1)①根据图中所给的信息可得$PA = -1 - (-2) = 1$，$PB = 3 - (-2) = 5$，$\therefore P[B,A] = 5$.
　②$\because C[A,B] = 1$，$\therefore CA = CB$，$\because$点A表示的数为$-1$，点B表示的数为3，$\therefore$点C表示的数为1.
　③$\because D[A,B] = 3$，$\therefore DA = 3DB$.分两种情况：I.当点D在点A和点B之间时，$\therefore DA + DB = AB = 3 - (-1) = 4$，$\therefore 4DB = 4$，解得$DB = 1$，$\therefore$点D表示的数为$3 - 1 = 2$；II.当点D在点B的右侧时，则$DA - DB = AB$，$\therefore 2DB = 4$，解得$DB = 2$，$\therefore$点D表示的数为$3 + 2 = 5$.
　综上所述，点D表示的数为2或5.
(2)经过$t$秒后，点M表示的数为$5t$，$\because$点E表示的数为$-10$，点F表示的数为50，分两种情况：I.当点M在点E和点F之间时，有$ME = 5t + 10$，$MF = 50 - 5t$，$\because M[E,F] = 4$，即$ME = 4MF$，$\therefore 5t + 10 = 4(50 - 5t)$，解得$t = \frac{38}{5}$；当点M在点F的右侧时，有$ME = 5t + 10$，$MF = 5t - 50$，$\because M[E,F] = 4$，即$ME = 4MF$，$\therefore 5t + 10 = 4(5t - 50)$，解得$t = 14$.
　综上所述，当$M[E,F] = 4$时，$t$的值为$\frac{38}{5}$或14.