《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

23. （13分）
若两角之差的绝对值为$60^{\circ}$，则称这两个角是一组“奇妙角”，即若$|\alpha-\beta|=60^{\circ}$，则$\alpha$与$\beta$是一组“奇妙角”$(0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ},0^{\circ}＜\beta＜180^{\circ})$.
（1）如图1，在长方形$ABCD$中，点$P$在边$AB$上，点$G$在边$CD$上，沿着$PG$将四边形$PADG$对折，点$A$落在点$A'$处，点$D$落在点$D'$处. 若$\angle BPA'=20^{\circ}$，判断$\angle APG$与$\angle BPA'$是否是一组“奇妙角”，并说明理由.
（2）如图2，$P$为长方形$ABCD$的边$AB$上一点，$M$和$N$分别是射线$AD$、射线$BC$上的点，连接$PM$，$PN$，沿着$PM$，$PN$分别对折$\triangle APM$和$\triangle BPN$，点$A$落在点$A'$处，点$B$落在点$B'$处.
①如图3，当$P$，$A'$，$B'$三点共线时，$\angle APM$与$\angle BPN$是一组“奇妙角”，求$\angle BPN$的度数；
②当$P$，$A'$，$B'$三点不共线时，$\angle APM$与$\angle BPN$是一组“奇妙角”，$\angle APM＞\angle BPN$，且$\angle A'PB'=12^{\circ}$，请直

接

写

出

$\angle BPA'$的度数.

答案：
23.解:
(1)$\angle APG$与$\angle BPA'$是一组“奇妙角”，理由如下:沿着PG将四边形PADG对折，点A落在点A'处，点D落在点D'处，
∴$\angle APG = \angle A'PG$，
∵$\angle BPA' = 20°$，
∴$\angle APG = \frac{1}{2} × (180° - 20°) = 80°$，
∴$\angle APG - \angle BPA' = 80° - 20° = 60°$，
∴$\angle APG$与$\angle BPA'$是一组“奇妙角”.
(2)①由折叠的性质知$\angle MPA' = \frac{1}{2}\angle APA'$，$\angle NPB' = \frac{1}{2}\angle BPB'$，
∵$P$，$A'$，$B'$三点共线，
∴$\angle MPA' + \angle NPB' = \frac{1}{2}\angle APB = 90°$，
∵$\angle APM$与$\angle BPN$是一组“奇妙角”，
∴$\angle APM - \angle BPN = 60°$，
∴$\angle BPN = 15°$.
　②分两种情况:Ⅰ.当点$B'$在DC的上方时，如答图1，由折叠的性质知$\angle APM = \angle APM'$，$\angle BPN = \angle B'PN'$，
∵$\angle APM$与$\angle BPN$是一组“奇妙角”，
∴设$\angle BPN = \beta$，
∴$\angle APM = 60° + \beta$，
∵$\angle A'PB' = 12°$，
∴$2 × (60° + \beta) + 2\beta + 12° = 180°$，解得$\beta = 12°$，
∴$\angle BPN = 12°$，
∴$\angle BPA' = 2\beta + 12° = 36°$；Ⅱ.当点$B'$在DC的下方时，如答图2，由折叠的性质知$\angle APM = \angle APM'$，$\angle BPN = \angle B'PN'$，
∵$\angle APM$与$\angle BPN$是一组“奇妙角”，
∴设$\angle BPN = \beta$，$\angle BPA' = \theta$，
∴$\angle APM = 60° + \beta$，
∵$\angle A'PB' = 12°$，
∴$\theta + 12° = 2\beta$，
∵$2(60° + \beta) + \theta = 180°$，解得$\theta = 24°$，
∴$\angle BPA' = 24°$.
　综上所述，$\angle BPA'$的度数为$36°$或$24°$.