《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

20. （8分）（沈阳沈河期末）
学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式$-mx+y-3-2x+3y-7$的值与$x$的取值无关，求$m$的值”，通常的解题方法是：把$x$，$y$看作字母，$m$看作系数合并同类项，因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$的系数为0，即原式$=(-m-2)x+4y-10$，所以$-m-2=0$，则$m=-2$. 请你解答：
（1）若多项式$(2x-1)a+2a^{2}-3x$的值与$x$的取值无关，求$a$的值；
（2）如图1的小长方形，长为$a$，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为$S_{1}$，右下角的面积为$S_{2}$，当$AB$的长变化时，发现$S_{1}-3S_{2}$的值始终保持不变，求$a$的值.

答案： 20.解:
(1)$(2x - 1)a + 2a^2 - 3x = 2ax - a + 2a^2 - 3x = (2a - 3)x - a + 2a^2$，因为多项式$(2x - 1)a + 2a^2 - 3x$的值与$x$的取值无关，所以$2a - 3 = 0$，解得$a = \frac{3}{2}$.
(2)设$AB = x$，由题意得$S_1 = (x - 4)a$，$S_2 = 2(x - a)$，$S_1 - 3S_2 = (x - 4)a - 6(x - a) = (a - 6)x + 2a$，因为$S_1 - 3S_2$的值始终保持不变，所以$S_1 - 3S_2$的值与$x$无关，即$a - 6 = 0$，解得$a = 6$.