《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

15. (沈阳沈河期末)两条线段$AB$，$CD$在数轴上运动，起始状态如图所示. $A$，$D$表示的数分别为$-2$，10，$AB = 2$，$CD = 4$，两条线段同时出发相向而行，线段$CD$的速度是线段$AB$的速度的 2 倍，两条线段从相遇到刚好完全离开用时 2 秒. $M$，$N$分别是$AB$，$CD$的中点，当两条线段开始运动时，射线$MA$开始以$12^{\circ}/s$的速度按顺时针方向旋转至$MB$结束，射线$ND$开始以$15^{\circ}/s$的速度按逆时针方向旋转至$NC$结束. 若两射线所在直线相交于点$E$，当$\angle MEN = 90^{\circ}$时，$MN$的长为1或21.

答案： 15.1或21 [解析]$\because A$，$D$表示的数分别为$-2$，$10$，$AB = 2$，$CD = 4$，$\therefore$点$B$，$C$表示的数分别为$0$，$6$，$\because M$，$N$分别是$AB$，$CD$的中点，$\therefore$点$M$，$N$表示的数分别为$-1$，$8$，$\therefore MN = 9$，$\because$线段$CD$的速度是线段$AB$的速度的$2$倍，$\therefore$设线段$CD$的速度是$a$，则线段$AB$的速度是$2a$，$\because$两条线段从相遇到刚好完全离开用时$2$秒，$\therefore 2(a + 2a)=2 + 4$，解得$a = 3$，设两条线段运动的时间为$t$，$\because$两射线所在直线相交于点$E$，$\angle MEN = 90^{\circ}$，$\therefore 12t + 15t = 90$或$12t + 15t = 270$，解得$t=\frac{10}{3}$或$t = 10$，$\therefore MN=\frac{10}{3} × 3 - 9 = 1$或$MN = 10 × 3 - 9 = 21$，$\therefore MN = 1$或$21$.

16. （每小题 5 分，共 10 分）（沈阳浑南期末）
（1）计算：$16 ÷ (-2)^{3} + (-\frac{1}{8}) × (-4)$；
（2）解方程：$\frac{1}{4}(x + 1) = \frac{1}{3}(x - 1)$.

答案： 16.解：
(1)原式$=16 ÷ (-8)+\frac{1}{2}=16 × (-\frac{1}{8})+\frac{1}{2}=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.
(2)去分母，得$3(x + 1)=4(x - 1)$，去括号，得$3x + 3 = 4x - 4$，移项、合并同类项，得$-x = -7$，系数化为$1$，得$x = 7$.

17. （8 分）（铁岭期末）
先化简，再求值：已知$(a + 2)^{2} + |b - \frac{1}{2}| = 0$，求$a^{2}b - [2a^{2} - 2(ab^{2} - 2a^{2}b) - 4] - 2ab^{2}$的值.

答案： 17.解：原式$=a^{2}b-(2a^{2}-2ab^{2}+4a^{2}b - 4)-2ab^{2}=a^{2}b - 2a^{2}+2ab^{2}-4a^{2}b + 4 - 2ab^{2}=-3a^{2}b - 2a^{2}+4$，$\because (a + 2)^{2}+\vert b-\frac{1}{2}\vert = 0$，$\therefore a + 2 = 0$，$b-\frac{1}{2}=0$，解得$a = -2$，$b=\frac{1}{2}$，$\therefore$原式$=-3× (-2)^{2}×\frac{1}{2}-2× (-2)^{2}+4=-6 - 8 + 4 = -10$.