《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

23. (13分)(沈阳浑南期末,有改编)
如图1,已知$\angle AOB$,在$\angle AOB$内部画射线$OC$,得到三个角,分别为$\angle AOC$,$\angle BOC$,$\angle AOB$.若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线$OC$为$\angle AOB$的“幸运线”.(本题中所研究的角都是大于$0^{\circ}$而小于$180^{\circ}$的角)
【阅读理解】
(1)角的平分线是(填“是”或“不是”)这个角的“幸运线”.
【初步应用】
(2)如图1,$\angle AOB = 48^{\circ}$,射线$OC$为$\angle AOB$的“幸运线”,求$\angle AOC$的度数.
【解决问题】
(3)如图2,已知$\angle AOB = 50^{\circ}$,射线$OM$从$OA$出发,以每秒$10^{\circ}$的速度绕点$O$按顺时针方向旋转,同时,射线$ON$从$OB$出发,以每秒$15^{\circ}$的速度绕点$O$按顺时针方向旋转,设运动的时间为$t$秒($0 ＜ t ＜ 5$).若在$OM$,$ON$,$OB$三条射线中,一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”,求运动时间$t$的值.
【实际运用】
(4)周末,小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹,出家门时小丽看了看时钟,恰好是下午3点整,取好包裹回到家时,小丽再看了看时钟,还没有到下午3点半,但此时分针与时针恰好重合.问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟.

答案： 23.解：
(1)是
(2)分三种情况：①设$\angle AOC = x$，则$\angle BOC = 2x$，由题意得$x + 2x = 48^{\circ}$，解得$x = 16^{\circ}$；②设$\angle AOC = x$，则$\angle BOC = x$，由题意得$x + x = 48^{\circ}$，解得$x = 24^{\circ}$；③设$\angle AOC = x$，则$\angle BOC = \frac{1}{2}x$，由题意得$x + \frac{1}{2}x = 48^{\circ}$，解得$x = 32^{\circ}$。
综上所述，$\angle AOC$的度数为$16^{\circ}$或$24^{\circ}$或$32^{\circ}$。
(3)当$0 ＜ t ＜ 5$时，射线$OB$在$\angle MON$的内部，此时$\angle MON = 50 + 5t$，$\angle BON = 15t$，若$OB$是射线$OM$与$ON$夹角的“幸运线”，分三种情况：①$\angle BON = \frac{1}{2}\angle MON$，即$15t = \frac{1}{2}(50 + 5t)$，解得$t = 2$；②$\angle BON = \frac{1}{3}\angle MON$，即$15t = \frac{1}{3}(50 + 5t)$，解得$t = \frac{5}{4}$；③$\angle BON = \frac{2}{3}\angle MON$，即$15t = \frac{2}{3}(50 + 5t)$，解得$t = \frac{20}{7}$。
综上所述，$t$的值是2或$\frac{5}{4}$或$\frac{20}{7}$。
(4)$\because$时针每小时转动的角度是$30^{\circ}$，分针每小时转动一周，角度为$360^{\circ}$，$\therefore$时针每分钟转动$30^{\circ} ÷ 60 = 0.5^{\circ}$，分针每分钟转动$360^{\circ} ÷ 60 = 6^{\circ}$，设此时对应的时刻是3点$x$分，则$90 + 0.5x = 6x$，解得$x = \frac{180}{11}$，$\therefore$这一时刻是3点$\frac{180}{11}$分，即小丽帮妈妈取包裹用了$\frac{180}{11}$分钟。