《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

23. (13分)(沈阳于洪期末)
从点$O$引三条射线$OA$,$OB$,$OC$.若$\angle AOC = 2\angle BOC$,我们称射线$OC$是【$OA$,$OB$】的完美倍分线;若$\angle BOC = 2\angle AOC$,我们称射线$OC$是【$OB$,$OA$】的完美倍分线.
(1)如图1,射线$OC$是$\angle AOB$的平分线,判断射线$OC$是否是【$OA$,$OB$】或【$OB$,$OA$】的完美倍分线.
(2)如图2,$OC$在$\angle AOB$的内部,且射线$OC$是【$OA$,$OB$】的完美倍分线.若$\angle BOC = 25^{\circ}$,求$\angle AOB$的度数.
(3)如图3,$\angle AOB = 120^{\circ}$,射线$OP$从$OA$位置开始,绕点$O$按顺时针方向以每秒$4^{\circ}$的速度旋转,射线$OQ$从$OB$位置开始,绕点$O$按逆时针方向以每秒$2^{\circ}$的速度旋转,当$OP$到达$OB$时,$OP$,$OQ$两射线同时停止运动,设运动时间为$t$秒.
①当$0 ＜ t\leqslant20$时,$OC$在$\angle POQ$的内部,且射线$OC$是【$OP$,$OQ$】的完美倍分线,则$\angle AOC$的度数为定值,请求出该定值;
②若射线$OQ$是【$OB$,$OP$】的完美倍分线时,请

直

接

写

出

$t$的值.

答案：
23.解：
(1)$\because$OC是$\angle AOB$的平分线，$\therefore \angle AOC = \angle BOC$，$\therefore$射线OC不是【$OA$，$OB$】或【$OB$，$OA$】的完美倍分线。
(2)$\because$射线OC是【$OA$，$OB$】的完美倍分线，$\angle BOC = 25°$，$\therefore \angle AOC = 2\angle BOC = 50°$，
$\therefore \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 75°$。
(3)①由题意得$\angle AOP = 4t$，$\angle BOQ = 2t$，当$OP$，$OQ$重合时，$4t + 2t = 120$，解得$t = 20$，
$\therefore$当$0 ＜ t \leq 20$时，$OP$在$OQ$的上方，$\therefore \angle AOP = 2\angle BOQ$，$\because OC$在$\angle POQ$的内部，且射线OC是【$OP$，$OQ$】的完美倍分线，$\therefore \angle POC = 2\angle COQ$，$\therefore \angle AOC = \angle AOP + \angle POC = 2\angle BOQ + 2\angle COQ = 2\angle BOC$，$\therefore \angle AOC + \angle BOC = 3\angle BOC = \angle AOB = 120°$，$\therefore \angle BOC = 40°$，
$\therefore \angle AOC = 80°$。
②点$P$的运动时间为为$120° ÷ 4° = 30$(秒)。分两种情况：I. 当$0 ＜ t \leq 20$时，如答图1，$\angle BOQ = 2\angle POQ$，则$2t = 2(120 - 4t - 2t)$，解得$t = \frac{120}{7}$；Ⅱ. 当$20 ＜ t \leq 30$时，如答图2，$\angle BOQ = 2\angle POQ$，则$2t = 2(2t - 120 + 4t)$，解得$t = 24$。
　　　　　　　
　　　　　　　
综上所述，$t$的值为$\frac{120}{7}$或24。