《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册北师大版辽宁专版》

21. (8分)(沈阳和平期末)
某班综合实践小组开展"制作长方体形纸盒"的实践活动.
【知识准备】
(1)下列$A\sim F$图形中,是正方体的表面展开图的有EF(填序号).

【制作纸盒】
(2)综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板,按以上两种方式制作长方体形盒子.如图1,先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形,再沿虚线折合起来,可制作一个无盖长方体形盒子.如图2,先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来,可制作一个有盖的长方体形盒子.则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的1/2.
【拓展探究】
(3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5,2,1.5,将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形.
①需要剪开几条棱?
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时,求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长.

答案：
21.解：
(1)EF
(2)$\frac{1}{2}$ 【解析】无盖长方体的体积为$(20 - 6)^2 × 3 = 588(cm^3)$，有盖长方体的体积为$(20 - 6) × \frac{20 - 6}{2} × 3 = 294(cm^3)$，有盖盒子的体积是无盖盒子体积的$\frac{294}{588} = \frac{1}{2}$。
(3)①如答图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以需要剪开7条棱。
　　　　　
②如果设长方体的长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$，则展开图的周长为$2(2a + 2c + 2c + b) = 4a + 8c + 2b$，要想周长最小，需要$b$取最大值，$c$取最小值，则$b = 2.5$，$c = 1.5$，$a = 2$，故最小周长为$4 × 2 + 8 × 1.5 + 2 × 2.5 = 25$。