《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

5. 如图所示，$E$是直线$CA$上一点，$\angle FEA = 40^{\circ}$，射线$EB$平分$\angle CEF$，$GE\perp EF$，则$\angle GEB$的度数是(B)


A.$10^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 5.B

6. 如图所示，$OC$是$\angle AOB$的平分线，$OD$是$\angle COB$的平分线，$\angle AOD = 60^{\circ}$，则$\angle AOB=$________.

答案： 6.80°

7. 如图所示，将一张长方形纸片分别沿着$EP$，$FP$对折，使点$B$落在点$B'$处，点$C$落在点$C'$处. 若点$P$，$B'$，$C'$不在同一直线上，$\angle B'PC' = 12^{\circ}$，则$\angle EPF=$________.

答案： 7.96°

8. 根据题意填空：如图所示，点$O$在直线$AB$上，$OD$平分$\angle AOC$，$\angle DOE = 90^{\circ}$，请说明$OE$平分$\angle COB$的理由.


解：$\because$点$O$在直线$AB$上，
$\therefore\angle AOB=$________$^{\circ}$.
$\because\angle DOE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle COD+\angle$________$= 90^{\circ}$，
$\angle AOD+\angle EOB = 180^{\circ}-\angle$DOE$=$90$^{\circ}$.
又$\because OD$平分$\angle AOC$，
$\therefore\angle AOD=\angle COD$(角平分线的定义).
$\therefore\angle COE=\angle BOE$(等量代换).

答案： 8.180 COE DOE 90 角平分线的定义 等量代换

9. 在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图所示，$EF$为直尺的一条边，四边形$ABCD$为一正方形纸板($\angle DAB$，$\angle ABC$，$\angle BCD$，$\angle D$均为直角).
(1)【操作发现】如图 1 所示，小组成员小方把正方形的一条边$AB$与$EF$重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又作出了$\angle DAF$的平分线$AQ$，交正方形的边于点$P$，则此时$\angle PAB$的度数为45°.
$\angle PAB$与$\angle DAE$的度数之间的关系为∠PAB = \frac{1}{2}∠DAE.
(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图 2 所示方式放置，若此时记$\angle DAE$的度数为$\alpha$，其他条件不变，请帮小丽同学探究$\angle PAB$与$\angle DAE$的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由.
(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图 3 所示方式放置，刘老师同样作出了$\angle DAF$的平分线$AQ$，请直接写出$\angle QAB$与$\angle DAE$的度数之间的关系.

答案： $9.(1)45° ∠PAB = \frac{1}{2}∠DAE$
(2)解：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系没有发生改变.
理由：如图2所示，
∵∠DAE = α,
∴∠DAF = 180° - α.
∵AQ平分∠DAF，
∴$∠DAQ = \frac{1}{2}∠DAF = 90° - \frac{1}{2}α.$
∴$∠PAB = ∠DAB - ∠DAQ = 90° - (90° - \frac{1}{2}α) = \frac{1}{2}α,$即$∠PAB = \frac{1}{2}∠DAE.$
(3)解：如图3所示，
∵∠DAF的平分线为AQ，
∴$∠QAD = \frac{1}{2}∠DAF.$
∴$∠QAB = 90° + ∠QAD = 90° + \frac{1}{2}∠DAF.$
∵∠DAE = 180° - ∠DAF，
∴$\frac{1}{2}∠DAE = 90° - \frac{1}{2}∠DAF.$
∴$∠QAB + \frac{1}{2}∠DAE = 180°.$