《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

4. 不透明的袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有 4 个面是三角形；乙同学：它有 8 条棱.该模型对应的立体图形可能是(D)

A.三棱柱
B.四棱柱
C.三棱锥
D.四棱锥

答案： 4.D

5. 下列说法错误的是(C)

A.长方体是四棱柱
B.三棱锥的底面是三角形
C.$n$ 棱柱有 $n$ 个面，$2n$ 个顶点，$3n$ 条棱
D.若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积相等

答案： 5.C

6. 下列几何体中，可以组成如图所示的陀螺的是(D)


A.长方体和圆锥
B.长方形和三角形
C.圆和三角形
D.圆柱和圆锥

答案： 6.D

7. 一个七棱柱一共有________条棱，有________个面，有________个顶点.

答案： 7.21 9 14

8. 如图所示，从一个棱长为 3 cm 的正方体的一顶点处挖去一个棱长为 1 cm 的正方体，则剩余部分的表面积是54 $cm^{2}$.

答案： 8.54 $cm^{2}$

9. 如图所示，这是一个六棱柱，它的底面边长都是 6 cm，高是 4 cm.
(1)这个棱柱共有多少个顶点？
(2)这个棱柱共有多少条棱？所有棱长的和是多少？
(3)这个棱柱的侧面积是多少？

答案： 9.
(1)共有12个顶点.
(2)共有18条棱，所有棱长的和是$12×6 + 6×4 = 96(cm)$.
(3)侧面积为$6×6×4 = 144(cm^{2})$.

10. 18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数($V$)、面数($F$)、棱数($E$)之间存在的一个有趣的关系式，这个关系式被称为欧拉公式.请观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
(1)根据上面的多面体模型，填写表格并进行推测.


推测：顶点数($V$)、面数($F$)、棱数($E$)之间存在的关系式是$V + F - E = 2$.
(2)一个多面体的面数比顶点数小 8，且有 30 条棱，则该多面体的顶点数是20.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 48 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱.设该多面体表面三角形的个数为 $x$，八边形的个数为 $y$，求 $x + y$ 的值.

答案： 10.
(1)6 6 $V + F - E = 2$
(2)20 解析：由
(1)可知$V + F - E = 2$.
∵多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴$V + V - 8 - 30 = 2$，解得$V = 20$.
(3)解：
∵多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴多面体的棱共有$48×3÷2 = 72$(条).
设总面数为$F$，
则$48 + F - 72 = 2$，解得$F = 26$，
∴$x + y = 26$.