《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13分)(沈阳沈河期末)
如图1,射线$OM$上有$A$,$B$两点,$OA = 12$,$OB = 5OA$.一动点$P$从点$A$出发,以每秒4个单位长度的速度沿射线$AM$的方向运动,同时,射线$AM$开始绕点$A$按顺时针方向以每秒$5^{\circ}$的速度旋转(如图2),当点$P$到达点$B$时,射线$AM$旋转停止;接着,射线$BM$开始绕点$B$按逆时针方向以每秒$15^{\circ}$的速度旋转,同时点$P$降速一半沿射线$BM$的方向运动(如图3).设点$P$的运动时间为$t$秒$(t ＞ 0)$.
(1)$AB$的长为48;当点$P$到达点$B$时,$\angle OAB$的度数为120°。
(2)当射线$BM$与$AB$所在直线第一次重合(从$BM$开始旋转后算起)时,$P$是线段$AB$的中点吗?请说明理由.
(3)在射线$BM$旋转的过程中,若它与$AB$所在直线第二次重合时所有运动停止,请求出当$t$为多少秒时,$BM$所在直线与$AB$所在直线之间的夹角为$30^{\circ}$?(在数学中,两条直线相交所形成的最小正角称为这两条直线的夹角)

答案： 23.解：
(1)48 120°【解析】
∵OB=50A=60，
∴AB=OA-OB=60-12=48；当点P到达点B时，所需的时间为48÷4=12(s)，此时AB旋转的角度为12×5°=60°，∠OAB=180°-60°
=120°.
(2)P是AB的中点，理由如下：当第一次重合时，所需的时间为180÷15=12(s)，此时BP=12×2=24，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB，即P是AB的中点.
(3)设射线BM旋转的时间为xs，当旋转30°，150°，210°，330°时，BM所在直线与AB所在直线之间的夹角为30°，
∴15°x的值为30°，
150°，210°，330°，解得x的值为2，10，14，
22，
∴x的值为14，22，26，34.