《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (8分)(大连金普期末)
已知$\angle AOB(0^{\circ}＜\angle AOB ＜ 180^{\circ})$与$\angle COD$共顶点$O$,点$A$,$O$,$C$在一条直线上,$\angle AOB = 2\angle COD$,$OM$为$\angle AOD$的平分线,$ON$为$\angle COB$的平分线.
(1)填空:$\angle AOC =$180°。
(2)如图1,当$OB$,$OD$重合时,求$\angle MON$的度数.
(3)如图2,当$\angle AOB + \angle COD ＜ 180^{\circ}$时,若$\angle COD = 50^{\circ}$,求$\angle MON$的度数.
(4)如图3,当$\angle AOB + \angle COD ＞ 180^{\circ}$时,探究$\angle MON$与$\angle COD$之间的数量关系,并加以说明.

答案： 21.解：
(1)180°
(2)当OB，OD重合时，∠AOD+∠COB=180°，
∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠COB的平分线，
∴∠AOM=∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=∠DON=$\frac{1}{2}$∠COB，
∴∠MON=∠BOM+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOD+∠COB)=90°.
(3)
∵∠COD=50°，
∴∠AOB=2∠COD=100°，
∴∠COB=180°-100°=80°，∠AOD=180°-50°=130°，
∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠COB的平分线，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=65°，
∠CON=$\frac{1}{2}$∠COB=40°，
∴∠MON=180°-∠AOM-∠CON=180°-65°-40°=75°.
(4)∠MON=$\frac{3}{2}$∠COD，理由如下：设∠COD=x，则∠AOB=2∠COD=2x，
∴∠AOD=180°-x，
∠COB=180°-2x，
∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠COB的平分线，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=90°-\frac{1}{2}x，∠CON=$\frac{1}{2}$∠COB=90°-x，
∴∠MON
=180°-∠AOM-∠CON=180°-90°+\frac{1}{2}x=90°+\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}∠COD.