《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

23. （13分）（沈阳和平期末）
折纸中的数学（题中所有角均指小于180°的角）
【知识储备】
我们用折纸的方法作角平分线.
如图1，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM = ∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线.
【问题情境】
动手折叠一张正方形纸片ABCD，点E在边AD上，点F，G分别在边AB，CD上，分别沿EF，EG把∠EAF，∠EDG折叠得到∠EA'F和∠ED'G.
【问题初探】
(1)如图2，若点A'、点D'、点E恰好在一条直线上，求∠FEG的度数.
(2)如图3，若点A'落在EG上，点D'落在EF上，求∠FEG的度数.
【问题再探】
(3)若∠A'ED' = β(β ≠ 0)，求∠FEG的度数. （用含β的代数式表示）
【问题深探】
(4)若连接BE，∠AEB = 50°，∠AEF = θ，且射线EB、射线EA'、射线ED'都与正方形的边相交. 射线EB、射线EA'、射线ED'，这三条射线中的一条射线是其余两条射线所组成角的平分线. 请画出图形并求出∠FEG的度数. （用含θ的代数式表示）

答案：
23.解：
(1)由折叠的性质知$\angle AEF=\angle A'EF$，$\angle DEG=\angle D'EG$，$\therefore\angle A'EF=\frac{1}{2}\angle AEA'$，$\angle D'EG=\frac{1}{2}\angle DED'$，$\because$点$A'$、点$D'$、点E恰好在一条直线上，$\therefore\angle AEA'+\angle DED'=180^{\circ}$，$\therefore\angle FEG=\angle A'EF+\angle D'EF=\frac{1}{2}(\angle AEA'+\angle DED')=90^{\circ}$.
(2)由折叠的性质知$\angle AEF=\angle A'EF$，$\angle DEG=\angle D'EG$，$\because$点$A'$落在EG上，点$D'$落在EF上，$\therefore\angle A'EF=\angle FEG=\angle D'EG$，$\therefore\angle AEF=\angle EFG=\angle DEG$，$\because\angle AEF+\angle EFG+\angle DEG=180^{\circ}$，$\therefore\angle EFG=60^{\circ}$.
(3)分两种情况：①当点$A'$在点$D'$的左侧时，如答图1，$\because\angle AEA'+\beta+\angle DED'=180^{\circ}$，$\therefore\angle AEF+\angle DEG=\frac{1}{2}(\angle AEA'+\angle DED')=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta$，$\therefore\angle FEG=180^{\circ}-(\angle AEF+\angle DEG)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\beta$；②当点$A'$在点$D'$的右侧时，如答图2，$\because\angle AEA'-\beta+\angle DED'=180^{\circ}$，$\therefore\angle AEF+\angle DEG=90^{\circ}+\frac{1}{2}\beta$，$\therefore\angle FEG=180^{\circ}-(\angle AEF+\angle DEG)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta$.
综上所述，$\angle FEG$的度数为$90^{\circ}\pm\frac{1}{2}\beta$.
　　　
(4)分三种情况：①当EB是$EA'$和$ED'$组成角的平分线时，I.如答图3，$\angle BEA'=\angle AEB-\angle AEA'=50^{\circ}-2\theta$，$\therefore\angle A'ED'=2\angle BEA'=100^{\circ}-4\theta$，由
(3)知$\angle FEG=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}+50^{\circ}-2\theta=140^{\circ}-2\theta$；II.如答图4，$\angle BEA'=\angle AEA'-\angle AEB=2\theta-50^{\circ}$，$\therefore\angle A'ED'=2\angle BEA'=4\theta-100^{\circ}$，$\therefore\angle FEG=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}-25^{\circ}+\theta=65^{\circ}+\theta$；②当EA'是EB和$ED'$组成角的平分线时，I.如答图5，$\angle BEA'=\angle AEA'-\angle AEB=2\theta-50^{\circ}$，$\therefore\angle A'ED'=2\theta-50^{\circ}$，$\therefore\angle FEG=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}+\theta-25^{\circ}=65^{\circ}+\theta$；II.如答图6，$\angle BEA'=\angle AEB-\angle AEA'=50^{\circ}-2\theta$，$\therefore\angle A'ED'=50^{\circ}-2\theta$，$\therefore\angle FEG=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}-25^{\circ}+\theta=65^{\circ}+\theta$；③当$ED'$是EB和$EA'$组成角的平分线时，I.如答图7，$\angle BEA'=\angle AEA'-\angle AEB=2\theta-50^{\circ}$，$\therefore\angle A'ED'=\frac{1}{2}\angle BEA'=\theta-25^{\circ}$，$\therefore\angle FEG=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}+12.5^{\circ}-\frac{1}{2}\theta=102.5^{\circ}-\frac{1}{2}\theta$；II.如答图8，$\angle BEA'=\angle AEB-\angle AEA'=50^{\circ}-2\theta$，$\therefore\angle A'ED'=\frac{1}{2}\angle BEA'=25^{\circ}-\theta$，$\therefore\angle FEG=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A'ED'=90^{\circ}+12.5^{\circ}-\frac{1}{2}\theta=102.5^{\circ}-\frac{1}{2}\theta$.
　综上所述，$\angle FEG$的度数为$140^{\circ}-2\theta$或$65^{\circ}+\theta$或$102.5^{\circ}-\frac{1}{2}\theta$.
　 　　 　　
　　　　　　　　　　　　　参考答案与解析