《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)(大连瓦房店期末)
【问题背景】
大美瓦房店,瓦房店滨海路上风景怡人.在滨海路上$A$和$B$两地之间相距大约5千米,大明骑电动车从$A$地出发,以1千米/分的速度向$B$地方向匀速行驶.笑笑骑自行车从$B$地出发,以0.5千米/分的速度向$A$地方向匀速行驶.两人同时出发,经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米?
【问题解决】
小美同学在学习了《有理数》之后,发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题.如图1,将滨海路抽象为一条数轴,将点$A$与数轴的原点重合,点$B$表示数5.大明和笑笑分别用动点$P$,$Q$来表示,设运动的时间为$t$分钟.
(1)$t$分钟后点$P$在数轴上对应的数是t,点$Q$对应的数是5-0.5t.(均用含$t$的代数式表示)
(2)我们知道,如果数轴上$M$,$N$两点分别对应数$m$,$n$,则$MN = \vert m - n\vert$.试运用该方法求经过几分钟动点$P$,$Q$之间相距1千米.
【拓展应用】
(3)如图2,$A$,$B$,$C$为数轴上三点,若点$A$表示的数是-20,点$B$表示的数是40,点$C$表示的数是25,现有两个动点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时开始在线段$AB$上运动,点$P$以每分钟2个单位长度的速度向右运动,点$Q$以每分钟1个单位长度的速度向左运动,若点$P$与点$C$之间的距离为$a$,点$Q$与点$B$之间的距离为$b$.在运动过程中,是否存在某一时刻$t$,使得$a + b = 40$?若存在,请直

接

写

出

运动的时间;若不存在,请说明理由.

答案： 22.
(1)$t$ $5 - 0.5t$
(2)根据题意得$|t - (5 - 0.5t)| = 1$，
∴$1.5t - 5 = 1$或$1.5t - 5 = -1$，解得$t = 4$或$t = \frac{8}{3}$，即经过4分钟或$\frac{8}{3}$分钟，动点P，Q之间相距1千米.
(3)在运动过程中，在某一时刻$t$，使得$a + b = 40$，根据题意，点P表示的数为$-20 + 2t$，点Q表示的数为$40 - t$，
∵点C表示的数是25，点P与点C之间的距离为$a$，点Q与点B之间的距离为$b$，
∴$a = |25 - (-20 + 2t)| = |45 - 2t|$，$b = |25 - (40 - t)| = |t - 15|$，
∵$a + b = 40$，
∴$|45 - 2t| + |t - 15| = 40$.分三种情况：①当$0 \leq t \leq 15$时，$45 - 2t + 15 - t = 40$，解得$t = \frac{20}{3}$；②当$15 ＜ t \leq 22.5$时，$45 - 2t + t - 15 = 40$，解得$t = -10$(舍去)；③当$22.5 ＜ t \leq 30$时，$2t - 45 + t - 15 = 40$，解得$t = \frac{100}{3}$(此时P不在线段AB上，舍去).
　　综上所述，运动的时间是$\frac{20}{3}$分钟.