《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (8分)(营口盖州期末)
如图,一扇窗户,所有窗框为铝合金材料,其下部是边长相同的四个小正方形,上部是半圆形,已知下部小正方形的边长是$a$米,窗户半圆部分安装彩色玻璃,四个正方形部分安装透明玻璃(本题中$\pi$取3,长度单位为米).
(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?(用含$a$的代数式表示)
(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计.(用含$a$的代数式表示)
(3)某公司需要购进30扇窗户,在同等质量的前提下,甲、乙两个厂商分别给出如下报价:
当$a = 1$时,该公司在哪家厂商购买窗户合算?

答案： 21.解:
(1)这样窗户一共需要铝合金的长度为$15a + \frac{1}{2} × 3 × 2a = 18a$(米).
答:一扇这样窗户一共需要铝合金$18a$米.
(2)“彩色玻璃”的面积为$\frac{1}{2} \pi a^2 = \frac{3}{2} a^2$(平方米)，“透明玻璃”的面积为$4a^2$(平方米)，所以需要玻璃的总面积为$\frac{3}{2} a^2 + 4a^2 = \frac{11}{2} a^2$(平方米).
答:一扇这样窗户一共需要玻璃$\frac{11}{2} a^2$平方米.
(3)当$a = 1$时，一扇这样的窗户需要铝合金的长度为18米，需要“彩色玻璃”的面积为$\frac{3}{2}$平方米，“透明玻璃”的面积为4平方米，30扇这样的窗户需要铝合金的长度为540米，需要“彩色玻璃”的面积为45平方米，“透明玻璃”的面积为120平方米.若选择甲厂家，总费用为$540 × 200 + 80 × 45 + 90 × 100 + 70 × (120 - 100) = 122000$(元)；若选择乙厂家，总费用为$220 × (540 - 0.1 × 120) + 60 × 45 + 80 × 120 = 128460$(元).因为$122000 ＜ 128460$，所以选择甲厂家比较合算.