《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13 分)(营口大石桥期末)
【问题初探】
在数学活动课上, 李老师将一副三角尺按图 1 所示位置摆放, 分别作出 $\angle ABE$, $\angle CBE$ 的平分线 $BH$, $BF$, 然后提出问题: 求 $\angle HBF$ 的度数.
(1)①“智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题, 他们将三角尺分别按图 2、图 3 所示的方式摆放, $BH$ 和 $BF$ 仍然是 $\angle ABE$, $\angle CBE$ 的平分线, $DB$ 和 $BC$ 在同一直线上. 分别计算出图 2, 图 3 中 $\angle HBF$ 的度数, 发现 $\angle HBF$ 的度数均为30°.
②探究完图 2、图 3 所示的特殊位置问题后, “智慧小组”的同学猜想出图 1 中 $\angle HBF$ 的度数应该与图 2、图 3 中 $\angle HBF$ 的度数相同. 他们经过合作交流后发现, 在图 2、图 3 中 $\angle ABE$ 和 $\angle CBE$ 的度数都已知或能求出具体的度数, 但图 1 中, $\angle ABE$ 和 $\angle CBE$ 求不出具体的度数, 所以想到了用字母表示数. 如果设 $\angle DBE = \alpha$, 则可以用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle ABE$ 和 $\angle CBE$, 然后利用角的和与差, 就能求出 $\angle HBF$ 的度数. 请你根据“智慧小组”的思路, 求出图 1 中 $\angle HBF$ 的度数.
【类比分析】
(2)受到“智慧小组”的启发, “创新小组”将三角尺按图 4 所示方式摆放, 分别作出 $\angle ADB$, $\angle CDE$ 的平分线 $DN$, $DM$. 他们认为利用同样方法也能求出 $\angle MDN$ 的度数. 请你求出 $\angle MDN$ 的度数.
【学以致用】
(3)如图 5, 已知点 $C$ 在线段 $AB$ 上, $AC = 3BC$. 点 $D$ 在线段 $AC$ 上, 点 $E$ 在线段 $AB$ 的延长线上, 且 $DE = \frac{1}{2}AB$. 若 $AD + EC = 9BE$, 求 $\frac{CD}{AB}$ 的值.

答案： 23.解：
(1)①30° 【解析】如题图2，
∵∠ABE = ∠ABC + ∠DBE = 60° + 45° = 105°，
∵BH和BF是∠ABE，∠CBE的平分线，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠DBE = 22.5°，∠ABH = $\frac{1}{2}$∠ABE = 52.5°，
∴∠HBF = ∠ABE - ∠ABH - ∠EBF = 30°；如题图3，
∵∠ABE = 180° - ∠ABC - ∠DBE = 180° - 60° - 45° = 75°，
∵BH和BF是∠ABE，∠CBE的平分线，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠CBE = $\frac{1}{2}$(180° - 45°) = 67.5°，∠EBH = $\frac{1}{2}$∠ABE = 37.5°，
∴∠HBF = ∠EBF - ∠EBH = 30°。
②设∠CBE = α，
∴∠ABE = 60° + α，
∵BH和BF是∠ABE，∠CBE的平分线，
∴∠EBH = $\frac{1}{2}$∠ABE = 30° + $\frac{1}{2}$α，∠EBF = $\frac{1}{2}$∠CBE = $\frac{1}{2}$α，
∴∠FBH = ∠EBH - ∠EBF = 30° + $\frac{1}{2}$α - $\frac{1}{2}$α = 30°。
(2)设∠ADE = β，
∴∠ADB = ∠BDE + ∠ADE = 90° + β，∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 60° - β，
∵∠ADB，∠CDE的平分线为DN，DM，
∴∠ADN = $\frac{1}{2}$∠ADB = $\frac{1}{2}$×(90° + β) = 45° + $\frac{1}{2}$β，∠EDM = $\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$×(60° - β) = 30° - $\frac{1}{2}$β，
∴∠MDN = ∠ADN - ∠ADE - ∠EDM = 45° + $\frac{1}{2}$β - β - (30° - $\frac{1}{2}$β) = 45° - 30° = 15°。
(3)
∵AC = 3BC，
∴设BC = x，AC = 3x，
∴AB = 4x，设BE = y，
∴AE = AB + BE = 4x + y，
∵DE = $\frac{1}{2}$AB = 2x，
∴AD = AE - DE = 4x + y - 2x = 2x + y，
∵AD + EC = 9BE，即2x + y + x + y = 9y，
∴y = $\frac{3}{7}$x，
∴CD = DE - BC - BE = 2x - x - $\frac{3}{7}$x = $\frac{4}{7}$x，
∴$\frac{CD}{AB}$ = $\frac{\frac{4}{7}x}{4x}$ = $\frac{1}{7}$。