《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (8 分)(盘锦大洼期末)
已知 $O$ 是直线 $AB$ 上一点, $\angle COD$ 是直角, $OE$ 平分 $\angle BOC$.
(1)如图 1, 若 $\angle AOC = 40^{\circ}$, 求 $\angle DOE$ 的度数.
(2)如图 2 的位置关系, 探究 $\angle AOC$ 与 $\angle DOE$ 度数之间的数量关系, 并说明理由.
(3)如图 3 的位置关系, 若 $\angle AOC = \alpha$, 求 $\angle DOE$ 的度数. (用含 $\alpha$ 的代数式表示)

答案： 21.解：
(1)
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵∠AOC = 40°，
∴∠BOC = 180° - 40° = 140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 70°，
∵∠COD是直角，
∴∠DOE = 90° - 70° = 20°。
(2)∠AOC = 2∠DOE，理由如下：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°，设∠AOC = x，则∠BOC = 180° - x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 90° - $\frac{1}{2}$x，
∵∠COD是直角，
∴∠DOE = 90° - ∠COE = 90° - (90° - $\frac{1}{2}$x) = $\frac{1}{2}$x，
∴∠AOC = 2∠DOE。
(3)由
(2)可得∠AOC = 2∠DOE，
∵∠AOC = α，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$α。