《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)(大连金普期末)
科创小组为测试新款机器人(如图1)的性能,他们设置了一条笔直的测试道$ AD $,在测试道上有$ B $,$ C $两个休整点,位置如图2所示,$ B $距$ A $,$ D $的距离分别为$ (a + b)m $、$ (3a + 2b)m $,$ C $与$ D $的距离为$ (2a + b)m $.其中$ a $,$ b $是不为0的实数.
(1)请用含$ a $,$ b $的代数式表示休整点$ B $,$ C $之间的距离.
(2)若$ a = 2 $,$ b = 4 $时,机器人在测试道上来回运动,运动规则为机器人到达起点$ A $或终点$ D $时立即按当前运行速度折返,每次运动时间固定为4s.具体运动过程如下:
第1次从起点出发,以$ v\ m/s $的速度运动到记录点$ N_{1} $;
第2次从$ N_{1} $出发,以$ (v + 1)m/s $的速度运动到记录点$ N_{2} $;
第3次从$ N_{2} $出发,以$ (v + 2)m/s $的速度运动到记录点$ N_{3} $,到达$ N_{3} $后停止.
机器人的运动速度始终不超过$ 6m/s $.
①求机器人的速度$ v $的最大值.
②在机器人首次到达终点$ D $前,当记录点$ N_{2} $到起点的距离为12m时,求$ v $的值.
③记录点能恰好为终点$ D $吗?若能,请

直

接

写

出

$ v $的值;若不能,请说明理由.

答案： 22.解:
(1)BC = BD - CD = 3a + 2b - (2a + b)=3a + 2b - 2a - b=(a + b)m。
答:休整点B，C之间的距离为(a + b)m。
(2)①
∵机器人的运动速度始终不超过6m/s，
∴v + 2最大为6m/s，即v的最大值为4m/s。
②AD = AB + BD=(a + b)+(3a + 2b)=(4a + 3b)m，当a = 2，b = 4时，AD = 20m，由题意得4v + 4(v + 1)=12，解得v = 1。
③分三种情况: I.若N₁恰好为终点，4v = 20，解得v = 5＞4，舍去；II.若N₂恰好为终点，4v + 4(v + 1)=20，解得v = 2，或4v + 4(v + 1)=20×3，解得v = 7＞4，舍去；III.若N₃恰好为终点，4v + 4(v + 1)+4(v + 2)=20，解得v = $\frac{2}{3}$，或4v + 4(v + 1)+4(v + 2)=20×3，解得v = 4。
综上所述，记录点能恰好为终点D，v的值为2或$\frac{2}{3}$或4。