《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

20. (8分)
【综合与实践】
【问题情景】
如图,$ O $为直线$ AB $上的一点,过点$ O $作射线$ OC $,使得$ \angle AOC:\angle BOC = 3:1 $,将直角三角板的直角顶点放在点$ O $处,一边$ OM $在射线$ OB $上,另一边$ ON $在直线$ AB $的下方.
【独立思考】
(1)在图1中,求$ \angle AOC $和$ \angle BOC $的度数.
【实践探究】
(2)将图1中的三角板按图2的位置摆放,使得$ OM $在$ \angle BOC $的平分线上,求$ \angle BON $的度数.
【拓展探究】
(3)将上述直角三角板按图3的位置摆放,使得$ OM $在$ \angle BOC $的内部,求$ \angle BON - \angle COM $的度数.

答案： 20.解:
(1)
∵∠AOC:∠BOC = 3:1，
∴∠AOC = 3∠BOC，
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴3∠BOC + ∠BOC = 180°，
∴∠BOC = 45°，
∴∠AOC = 3∠BOC = 135°。
(2)由
(1)可知∠BOC = 45°，
∵OM在∠BOC的平分线上，
∴∠BOM = $\frac{1}{2}$∠BOC = 22.5°，
∵∠MON = 90°，
∴∠BON = ∠MON - ∠BOM = 90° - 22.5° = 67.5°。
(3)设∠COM = α，由
(1)可知∠BOC = 45°，
∴∠BOM = ∠BOC - ∠COM = 45° - α，
∵∠MON = 90°，
∴∠BON = ∠MON - ∠BOM = 90° - (45° - α)=45° + α，
∴∠BON - ∠COM = 45° + α - α = 45°。