《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

23. （13分）（沈阳于洪期末）
从点$O$引三条射线$OA$，$OB$，$OC$。若$\angle AOC = 2\angle BOC$，我们称射线$OC$是【$OA$，$OB$】的完美倍分线；若$\angle BOC = 2\angle AOC$，我们称射线$OC$是【$OB$，$OA$】的完美倍分线。
(1)如图1，射线$OC$是$\angle AOB$的平分线，判断射线$OC$是否是【$OA$，$OB$】或【$OB$，$OA$】的完美倍分线。
(2)如图2，$OC$在$\angle AOB$的内部，且射线$OC$是【$OA$，$OB$】的完美倍分线。若$\angle BOC = 25^{\circ}$，求$\angle AOB$的度数。
(3)如图3，$\angle AOB = 120^{\circ}$，射线$OP$从$OA$位置开始，绕点$O$按顺时针方向以每秒$4^{\circ}$的速度旋转，射线$OQ$从$OB$位置开始，绕点$O$按逆时针方向以每秒$2^{\circ}$的速度旋转，当$OP$到达$OB$时，$OP$，$OQ$两射线同时停止运动，设运动时间为$t$秒。
①当$0 ＜ t\leqslant 20$时，$OC$在$\angle POQ$的内部，且射线$OC$是【$OP$，$OQ$】的完美倍分线，则$\angle AOC$的度数为定值，请求出该定值；
②若射线$OQ$是【$OB$，$OP$】的完美倍分线时，请

直

接

写

出

$t$的值。

答案：
23.解：
(1)
∵$OC$是$\angle AOB$的平分线，$\therefore \angle AOC = \angle BOC$，$\therefore$射线$OC$不是【$OA$，$OB$】或【$OB$，$OA$】的完美倍分线。
(2)
∵射线$OC$是【$OA$，$OB$】的完美倍分线，$\angle BOC = 25^{\circ}$，$\therefore \angle AOC = 2\angle BOC = 50^{\circ}$，$\therefore \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 75^{\circ}$。
(3)①由题意得$\angle AOP = 4t$，$\angle BOQ = 2t$，当$OP$，$OQ$重合时，$4t + 2t = 120$，解得$t = 20$，$\therefore$当$0 ＜ t \leq 20$时，$OP$在$OQ$的上方，$\therefore \angle AOP = 2\angle BOQ$，
∵$OC$在$\angle POQ$的内部，且射线$OC$是【$OP$，$OQ$】的完美倍分线，$\therefore \angle POC = 2\angle COQ$，$\therefore \angle AOC = \angle AOP + \angle POC = 2\angle BOQ + 2\angle COQ = 2\angle BOC$，$\therefore \angle AOC + \angle BOC = 3\angle BOC = \angle AOB = 120^{\circ}$，$\therefore \angle BOC = 40^{\circ}$，$\therefore \angle AOC = 80^{\circ}$。
②点$P$的运动时间为$120^{\circ} ÷ 4^{\circ} = 30$（秒），分两种情况：I. 当$0 ＜ t \leq 20$时，如答图1，$\angle BOQ = 2\angle POQ$，有$2t = 2(120 - 4t - 2t)$，解得$t = \frac{120}{7}$；II. 当$20 ＜ t \leq 30$时，如答图2，$\angle BOQ = 2\angle POQ$，有$2t = 2(2t - 120 + 4t)$，解得$t = 24$。

综上所述，$t$的值为$\frac{120}{7}$或24。