《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

22. （12分）（沈阳大东期末）
数轴上有$A$，$B$两点，若点$A$到原点的距离为点$B$到原点的距离的$2$倍，则称$A$为点$B$的$2$倍原距点。已知互不重合的三点$A$，$M$，$N$在数轴上表示的数分别为$2$，$m$，$n$。
(1)若$A$是点$M$的$2$倍原距点：
①当点$M$在数轴正半轴上时，求$m$的值；
②当点$M$在数轴负半轴上，且点$M$与点$A$的距离等于点$M$与点$N$的距离，判断$N$是否是点$A$的$2$倍原距点，并说明理由。
(2)若点$M$，$N$分别从数轴上表示数$10$，$6$的点同时出发向数轴负半轴运动，点$M$运动速度为每秒$2$个单位长度，点$N$运动速度为每秒$a$个单位长度。若$M$为点$A$的$2$倍原距点时，$A$恰好也是点$N$的$2$倍原距点，求出$a$所有可能的值。

答案： 22.解：
(1)①由题意得$2m = 2$，解得$m = 1$。
②$N$是点$A$的2倍原距点，理由如下：由题意得$m = -1$，则$|2 - (-1)| = |-1 - n|$，解得$n = -4$或$n = 2$（舍去），$\therefore |n| = 4 = 2 × |2|$，$\therefore N$是点$A$的2倍原距点。
(2)设运动的时间为$t$秒，由题意得$\begin{cases} |10 - 2t| = 2 × 2 \\ 2 = 2 × |6 - at| \end{cases}$，解得$\begin{cases} t = 7 \\ a = 1 \end{cases}$或$\begin{cases} t = 7 \\ a = \frac{5}{7} \end{cases}$或$\begin{cases} t = 3 \\ a = \frac{5}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} t = 3 \\ a = \frac{7}{3} \end{cases}$，$\therefore a$的值为$1$或$\frac{5}{7}$或$\frac{5}{3}$或$\frac{7}{3}$。