《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

21. （8分）（大连金普期末）
【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制。爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定$a^{0} = 1$，$a \neq 0$）。
【示例呈现】
将$25.5$转化为二进制。
第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是$·s$，$32$，$16$，$8$，$4$，$2$，$1$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$·s$；从右到左，相邻两数是$2$倍关系。
第二步计算填表：将$25.5$用表中列出的十进制中的数对比，不够$32$，够$16$的$1$倍，对应二进制标注$1$，$25.5 - 16 = 9.5$，$9.5$够$8$的$1$倍，对应二进制标注$1$，$9.5 - 8 = 1.5$，依此类推，够的在二进制标注$1$，不够的填$0$，直至差为$0$。

第三步给出结果：从有$1$的位数开始从左到右记数，$25.5$的二进位就是$(11001.1)_{2}$。
第四步验证结果（二进制转化成十进制）：$1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 + 1×\frac{1}{2} = 25.5$。
【学以致用】
(1)将$10$转化为二进制。
(2)计算：①$(10101)_{2} + (111)_{2}$（结果用二进制表示）。
②$(110010)_{2} - (1111)_{2}$（结果用十进制表示）。
(3)利用给出的表格，将$(800)_{10}$转化为四进制，并求$a + b + c + d + e + f$的值。

【拓展提高】
(4)①利用表格法，将十进制数$500$转换为五进制数。
备用表格：

②求$(11111101000)_{2}×(0.11)_{9}÷(1208)_{12}$的值（结果用十进制表示）。
③根据下表将$2025$转化为$N$进制所给出的信息，求$n$的值。

答案： 21.解：
(1)$10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1 = (1010)_2$。
(2)①$(10101)_2 + (111)_2 = (11100)_2$。
②$(110010)_2 - (1111)_2 = (100011)_2 = 2^5 + 2^1 + 2^0 = 32 + 2 + 1 = 35$。
(3)$(800)_{10} = 3 × 4^4 + 2 × 4^2 = (30200)_4$；$a + b + c + d + e + f = 5$。
(4)①$500 = 4 × 5^3 = (4000)_5$。
②$(11111101000)_2 × (0.11)_9 ÷ (1208)_{12} = (2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^3) × (9^{-1} + 9^{-2}) ÷ (12^3 + 2 × 12^2 + 8 × 12^0) = 2024 × \frac{10}{81} ÷ 2024 = \frac{10}{81}$。
③由表格得$(2025)_{10} = (n^4 + 3n^3 + 2n^2 + n^1 + 3n^0)_n = (6^4 + 3 × 6^3 + 2 × 6^2 + 6^1 + 3 × 6^0)_6$，即$n = 6$。