《2025年1加1轻巧夺冠完美期末七年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13分)(沈阳浑南期末)
我们规定将数轴上某一点$P$表示的数记为$x_{P}$.对于数轴上不同的三个点$A,B,C$,若有$x_{B} - x_{C} = k(x_{A} - x_{C})$,其中$k$为有理数,则称$B$是点$A$关于点$C$的"$k$倍友好点".如图,已知在数轴上,原点为$O$,点$M$、点$N$表示的数分别为$x_{M} = - 2$,$x_{N} = 4$.
(1)若$N$是点$M$关于原点$O$的"$k$倍友好点",求$k$的值.
(2)若$T$是点$M$关于点$N$的"$3$倍友好点",求$x_{T}$的值.
(3)点$Q$在数轴上运动(不与$M,N$两点重合),$M'$是点$M$关于点$Q$的"$3$倍友好点",$N'$是点$N$关于点$Q$的"$k$倍友好点".当点$Q$运动时,点$Q$表示的数为$x_{Q}$.
①若$k = 3$,求$M'N'$的长(若$M'N'$的长是定值,请求出这个定值;若$M'N'$的长不是定值,请用含$x_{Q}$的代数式表示).
②若$k = 2$,点$Q$在数轴上运动的过程中,当$M'N' = MN$时,请直

接

写

出

$x_{Q}$的值.

答案： 23.解：
(1)$\because x_{N}-x_{0}=k(x_{M}-x_{0})$，$\therefore4 = - 2k$，解得$k=-2$。
(2)$\because x_{T}-x_{N}=3(x_{M}-x_{N})$，$\therefore x_{T}-4 = 3×(-2 -4)$，解得$x_{T}=-14$。
(3)①$\because x_{M}-x_{Q}=3(x_{M}-x_{Q})$，$x_{N}-x_{Q}=3(x_{N}-x_{Q})$，$\therefore x_{M}-x_{Q}=3×(-2 - x_{Q})$，$x_{N}-x_{Q}=3×(4 - x_{Q})$，$\therefore x_{M}=-6 - 2x_{Q}$，$x_{N}=12 - 2x_{Q}$，$\therefore M'N'=\vert x_{M}-x_{N}\vert=\vert - 6 - 2x_{Q}-(12 - 2x_{Q})\vert =18$。
②$\because x_{N}-x_{Q}=2(x_{N}-x_{Q})$，$\therefore x_{N}-x_{Q}=2×(4 - x_{Q})$，$\therefore x_{N}=8 - x_{Q}$，$\because x_{M}=-6 - 2x_{Q}$，$\therefore M'N'=\vert x_{M}-x_{N}\vert=\vert - 6 - 2x_{Q}-(8 - x_{Q})\vert=\vert - 14 - x_{Q}\vert$，$\because M'N'=MN$，$\therefore\vert - 14 - x_{Q}\vert=6$，$\therefore - 14 - x_{Q}=6$或$-14 - x_{Q}=-6$，解得$x_{Q}=-20$或$x_{Q}=-8$。