《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

8. 如图,点 $O$ 是等边三角形 $ABC$ 内一点,点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 外的一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,$\angle BOC = \alpha$,$\triangle BOC \cong \triangle ADC$,$\angle OCD = 60^{\circ}$,连接 $OD$。

(1)求证：$\triangle OCD$ 是等边三角形；
(2)当 $\alpha = 150^{\circ}$ 时,试判断 $\triangle AOD$ 的形状,并说明理由；
(3)探究：当 $\alpha$ 为多少度时,$\triangle AOD$ 是等腰三角形。

答案：
(1)证明:因为$\triangle BOC\cong \triangle ADC$,
所以$OC=DC$.
因为$\angle OCD=60^{\circ }$,
所以$\triangle OCD$是等边三角形.
(2)解:$\triangle AOD$是直角三角形.理由如下:
因为$\triangle OCD$是等边三角形,
所以$\angle ODC=60^{\circ }$.
因为$\triangle BOC\cong \triangle ADC$,$\alpha =150^{\circ }$,
所以$\angle ADC=\angle BOC=\alpha =150^{\circ }$,
所以$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$,所以$\triangle AOD$是直角三角形.
(3)解:因为$\triangle OCD$是等边三角形,
所以$\angle COD=\angle ODC=60^{\circ }$.
因为$\angle AOB=110^{\circ }$,$\angle ADC=\angle BOC=\alpha $,
所以$\angle AOD=360^{\circ }-\angle AOB-\angle BOC-\angle COD=360^{\circ }-110^{\circ }-\alpha -60^{\circ }=190^{\circ }-\alpha $,
$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC=\alpha -60^{\circ }$,
所以$\angle OAD=180^{\circ }-\angle AOD-\angle ADO=180^{\circ }-(190^{\circ }-\alpha )-(\alpha -60^{\circ })=50^{\circ }$.
①当$\angle AOD=\angle ADO$时,即$190^{\circ }-\alpha =\alpha -60^{\circ }$,
所以$\alpha =125^{\circ }$.
②当$\angle AOD=\angle OAD$时,即$190^{\circ }-\alpha =50^{\circ }$,
所以$\alpha =140^{\circ }$.
③当$\angle ADO=\angle OAD$时,即$\alpha -60^{\circ }=50^{\circ }$,
所以$\alpha =110^{\circ }$.
综上所述,当$\alpha =110^{\circ }$或$125^{\circ }$或$140^{\circ }$时,
$\triangle AOD$是等腰三角形.

9. 已知在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$。
(1)【特殊情况,探索结论】
如图①,当点 $E$ 为 $AB$ 的中点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,请你直接写出结论：$AE$ ______ $DB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
(2)【特例启发,解答题目】
如图②,当点 $E$ 为 $AB$ 边上任意一点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,并说明理由。
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在直线 $AB$ 上,点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$,若 $\triangle ABC$ 的边长为 $1$,$AE = 2$,求 $CD$ 的长(请你画出相应图形,并直接写出结果)。
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答案：
(1)=
(2)AE=DB.理由如下:
如图,过点E作$EF// BC$,交AC于点F.
因为$\triangle ABC$为等边三角形,
所以$\triangle AEF$为等边三角形,
所以$AE=EF=AF$,所以$BE=CF$.
因为$ED=EC$,所以$\angle D=\angle ECD$.
因为$\angle DEB=60^{\circ }-\angle D$,$\angle ECF=60^{\circ }-\angle ECD$,
所以$\angle DEB=\angle ECF$.
在$\triangle DBE$和$\triangle EFC$中,
$\left\{\begin{array}{l} DE=EC,\\ \angle DEB=\angle ECF,\\ BE=FC,\end{array}\right. $
所以$\triangle DBE\cong \triangle EFC(SAS)$,
所以$DB=EF$,所以$AE=DB$.
(3)解:当点E在AB的延长线上时,作$EF// AC$,交CB的延长线于点F,则$\triangle EFB$为等边三角形,如图所示,可得$\triangle DBE\cong \triangle CFE$.
因为$AB=1$,$AE=2$,所以$BE=1$,
所以$BF=BE=1$.
因为$DB=FC=BF+BC=2$,
所以$CD=BC+DB=3$.
当点E在BA的延长线上时,不存在点D在CB延长线上,使$ED=EC$.
综上所述,$CD=3$.