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2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版
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25. (本题满分 12 分)
如图,抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A(0,2)$,点 $B$ 是抛物线的顶点,直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴,且与 $x$ 轴交于点 $C$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 $D$ 是对称轴左侧抛物线上一点,连接 $BD$,$\angle DBC = 45^{\circ}$,求点 $D$ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,若点 $M$ 是 $x$ 轴上方抛物线对称轴上一点,点 $P$ 在坐标平面内,且以点 $A$,$D$,$M$,$P$ 为顶点的四边形是以 $AD$ 为边的菱形,请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标.
如图,抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A(0,2)$,点 $B$ 是抛物线的顶点,直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴,且与 $x$ 轴交于点 $C$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 $D$ 是对称轴左侧抛物线上一点,连接 $BD$,$\angle DBC = 45^{\circ}$,求点 $D$ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,若点 $M$ 是 $x$ 轴上方抛物线对称轴上一点,点 $P$ 在坐标平面内,且以点 $A$,$D$,$M$,$P$ 为顶点的四边形是以 $AD$ 为边的菱形,请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标.
答案：
【解】
(1)因为抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点A(0,2)，直线x=2是抛物线的对称轴，所以{c=2,-b/2=2,解得{c=2,b=-4.所以y=x²-4x+2.
(2)由题意，得C(2,0).因为y=x²-4x+2=(x-2)²-2，所以B(2,-2)，所以BC=2,OC=2.连接OB(图略)，则∠OBC=∠BOC=45°.因为∠DBC=45°，所以点D是直线OB与抛物线的交点.设直线OB的解析式为y=kx.把B(2,-2)代入，得k=-1，所以y=-x.联立{y=-x,y=x²-4x+2,解得{x=2,y=-2(舍去)或{x=1,y=-1,所以点D的坐标为(1,-1).
(3)设M(2,m)(m＞0).因为D(1,-1),A(0,2)，所以AD²=(0-1)²+[2-(-1)]²=10，AM²=(2-0)²+(m-2)²=(m-2)²+4，DM²=(2-1)²+[m-(-1)]²=(m+1)²+1.因为以点A,D,M,P为顶点的四边形是以AD为边的菱形，分两种情况：①当AM=AD时，则(m-2)²+4=10，解得m=2+√6或m=2-√6(舍去)，所以M(2,2+√6)；②当DM=AD时，则(m+1)²+1=10，解得m=2或m=-4(舍去)，所以M(2,2).综上，点M的坐标为(2,2+√6)或(2,2).
(1)因为抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点A(0,2)，直线x=2是抛物线的对称轴，所以{c=2,-b/2=2,解得{c=2,b=-4.所以y=x²-4x+2.
(2)由题意，得C(2,0).因为y=x²-4x+2=(x-2)²-2，所以B(2,-2)，所以BC=2,OC=2.连接OB(图略)，则∠OBC=∠BOC=45°.因为∠DBC=45°，所以点D是直线OB与抛物线的交点.设直线OB的解析式为y=kx.把B(2,-2)代入，得k=-1，所以y=-x.联立{y=-x,y=x²-4x+2,解得{x=2,y=-2(舍去)或{x=1,y=-1,所以点D的坐标为(1,-1).
(3)设M(2,m)(m＞0).因为D(1,-1),A(0,2)，所以AD²=(0-1)²+[2-(-1)]²=10，AM²=(2-0)²+(m-2)²=(m-2)²+4，DM²=(2-1)²+[m-(-1)]²=(m+1)²+1.因为以点A,D,M,P为顶点的四边形是以AD为边的菱形，分两种情况：①当AM=AD时，则(m-2)²+4=10，解得m=2+√6或m=2-√6(舍去)，所以M(2,2+√6)；②当DM=AD时，则(m+1)²+1=10，解得m=2或m=-4(舍去)，所以M(2,2).综上，点M的坐标为(2,2+√6)或(2,2).
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