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2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版
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18. (本题满分 10 分)
已知二次函数 $y = x^{2}+2ax - 4$($a$ 为常数).
(1)若二次函数的图象经过点$(1,-5)$,求 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下,当$-1\leqslant x\leqslant4$ 时,请求出二次函数的最大值和最小值.
已知二次函数 $y = x^{2}+2ax - 4$($a$ 为常数).
(1)若二次函数的图象经过点$(1,-5)$,求 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下,当$-1\leqslant x\leqslant4$ 时,请求出二次函数的最大值和最小值.
答案：
【解】
(1)把(1,-5)代入y=x²+2ax-4，得-5=1+2a-4，解得a=-1.
(2)因为a=-1，所以y=x²-2x-4，所以对称轴为x=-(-2)/(2×1)=1.因为1＞0，所以抛物线开口向上.因为-1≤x≤4，所以当x=1时，取得最小值，为y=1²-2×1-4=-5；因为1-(-1)=2＜4-1=3，所以当x=4时，取得最大值，为y=4²-2×4-4=4.所以当-1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5.
(1)把(1,-5)代入y=x²+2ax-4，得-5=1+2a-4，解得a=-1.
(2)因为a=-1，所以y=x²-2x-4，所以对称轴为x=-(-2)/(2×1)=1.因为1＞0，所以抛物线开口向上.因为-1≤x≤4，所以当x=1时，取得最小值，为y=1²-2×1-4=-5；因为1-(-1)=2＜4-1=3，所以当x=4时，取得最大值，为y=4²-2×4-4=4.所以当-1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5.
19. (本题满分 10 分)
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$ 有两个不等的实数根 $x_{1}$,$x_{2}$.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}+x_{2}= 7$,求 $k$ 的值及方程的根.
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$ 有两个不等的实数根 $x_{1}$,$x_{2}$.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1}+x_{2}= 7$,求 $k$ 的值及方程的根.
答案：
【解】
(1)因为关于x的一元二次方程x²-(2k + 1)x + k²+1 = 0有两个不等的实数根，所以Δ＞0，即[-(2k+1)]²-4×1×(k²+1)＞0，整理得4k-3＞0，解得k＞3/4，故k的取值范围为k＞3/4.
(2)因为方程的两个根为x₁,x₂，所以x₁+x₂=2k+1=7，解得k=3，所以原方程为x²-7x+10=0，解得x₁=5,x₂=2.
(1)因为关于x的一元二次方程x²-(2k + 1)x + k²+1 = 0有两个不等的实数根，所以Δ＞0，即[-(2k+1)]²-4×1×(k²+1)＞0，整理得4k-3＞0，解得k＞3/4，故k的取值范围为k＞3/4.
(2)因为方程的两个根为x₁,x₂，所以x₁+x₂=2k+1=7，解得k=3，所以原方程为x²-7x+10=0，解得x₁=5,x₂=2.
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