《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

20. (本题满分 10 分)
小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究：测得喷水口 $ P $ 距地面 $ 0.7\ m $,水柱在距喷水口 $ P $ 水平距离 $ 5\ m $ 处达到最高,最高点距地面 $ 3.2\ m $. 建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的解析式为 $ y = a(x - h)^{2}+k $,其中 $ x(m) $ 是水柱距喷水口的水平距离,$ y(m) $ 是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的解析式；
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水口 $ P $ 的水平距离为 $ 3\ m $,身高 $ 1.6\ m $ 的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.

答案： 【解】
(1)根据题意可知抛物线的顶点为$(5,3.2)$,所以抛物线的解析式为$y=a(x-5)^{2}+3.2$.将$(0,0.7)$代入,得$0.7=25a+3.2$,解得$a=-0.1$,所以抛物线的解析式为$y=-0.1(x-5)^{2}+3.2$.
(2)由
(1)知$y=-0.1(x-5)^{2}+3.2$,令$y=1.6$,得$1.6=-0.1(x-5)^{2}+3.2$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=9$.因为爸爸站在水柱正下方,且距喷水口$P$的水平距离为$3\ m$,所以她与爸爸的水平距离为$3-1=2(m)$,或$9-3=6(m)$.答:当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离是$2\ m$或$6\ m$.

21. (本题满分 10 分)
如图,点 $ O $ 是等边 $ \triangle ABC $ 内的一点,$ \angle BOC = 150^{\circ} $,将 $ \triangle BOC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转得到 $ \triangle ADC $,连接 $ OD $,$ OA $.
(1)求 $ \angle ODC $ 的度数；
(2)若 $ OB = 2 $,$ OC = 3 $,求 $ AO $ 的长.

答案： 【解】
(1)由旋转的性质,得$CD=CO$,$\angle ACD=\angle BCO$.因为$\triangle ABC$是等边三角形,所以$\angle ACB=60^{\circ}$,所以$\angle OCD=\angle ACD+\angle ACO=\angle BCO+\angle ACO=\angle ACB=60^{\circ}$,所以$\triangle OCD$是等边三角形,所以$\angle ODC=60^{\circ}$.
(2)由旋转的性质,得$AD=OB=2$,$\angle ADC=\angle BOC=150^{\circ}$.因为$\angle ODC=60^{\circ}$,所以$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$.因为$\triangle OCD$为等边三角形,所以$OD=OC=3$,所以在$Rt\triangle AOD$中,$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.