《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

训练10
已知随机变量X服从正态分布$ X \sim N(1,\sigma^{2}) $。若$ P(1 \leq X \leq 3) = 0.2 $,则$ P(X ＜ -1 | |X| ＞ 1) = $(B)
A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{3}{8} $
C.$ \frac{5}{8} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： 选B.因为$P(1≤X≤3)=0.2$,所以$P(X＜-1)=P(X＞3)=0.5-0.2=0.3$,又$P(|X|＞1)=P(X＞1)+P(X＜-1)=0.5+0.3=0.8$,所以$P(X＜-1||X|＞1)=\frac {P(X＜-1)}{P(|X|＞1)}=\frac {0.3}{0.8}=\frac {3}{8}$.故选B.

训练11
某工厂生产一批零件,其直径$ X \sim N(10,4) $,现在抽取10000件进行检查,则直径在(12,14]之间的零件大约有1359件。(参考数据：若$ X \sim N(\mu,\sigma^{2}) $,则$ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827 $,$ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 $,$ P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.9973 $)

答案： 1359.解析:因为$X\sim N(10,4),\mu =10,σ=2$,所以$P(8≤X≤12)\approx 0.6827,$$P(6≤X≤14)\approx 0.9545$,所以$P(12＜X≤14)\approx \frac {0.9545-0.6827}{2}=0.1359,$所以直径在$(12,14]$之间的零件大约有$10000×0.1359=1359$(件).答案:1359

训练12
某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测了120个零件的长度(单位：dm),按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组,得到如下的频数分布表。

以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率。
(1) 若从这批零件中随机抽取3个,记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]的个数,求X的分布列和均值；
(2) 若变量S满足$ |P(\mu - \sigma ＜ S \leq \mu + \sigma) - 0.6827| \leq 0.05 $,且$ |P(\mu - 2\sigma ＜ S \leq \mu + 2\sigma) - 0.9545| \leq 0.05 $,则称变量S满足近似于正态分布$ N(\mu,\sigma^{2}) $的概率分布,如果这批零件的长度Y(单位：dm)满足近似于正态分布$ N(1.5,0.01) $的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收,否则,公司将拒绝签收,试问该批零件能否被签收？
(1)从这批零件中随机选取1个,长度在$(1.4,1.6]$的概率为$p=\frac {42+42}{120}=0.7$,则$X\sim B(3,0.7),$随机变量X的可能取值为0,1,2,3,则$P(X=0)=C_{3}^{0}×(1-0.7)^{3}=0.027,$$P(X=1)=C_{3}^{1}×0.7×(1-0.7)^{2}=0.189,$$P(X=2)=C_{3}^{2}×0.7^{2}×(1-0.7)=0.441,$$P(X=3)=C_{3}^{3}×0.7^{3}=0.343,$所以随机变量X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343所以$E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.$
(2)由题意知$\mu =1.5,σ=0.1,P(1.3＜Y≤1.4)=P(1.6＜Y≤1.7)=\frac {15}{120}=0.125,$$P(\mu -σ＜Y≤\mu +σ)=P(1.4＜Y≤1.6)=\frac {84}{120}=0.7,$$P(\mu -2σ＜Y≤\mu +2σ)=P(1.3＜Y≤1.7)=0.125+0.7+0.125=0.95,$因为$|0.7-0.6827|=0.0173＜0.05,$$|0.95-0.9545|=0.0045＜0.05,$所以这批零件的长度满足近似于正态分布$N(1.5,0.01)$的概率分布.所以认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.

答案：
(1)从这批零件中随机选取1个,长度在$(1.4,1.6]$的概率为$p=\frac {42+42}{120}=0.7$,则$X\sim B(3,0.7),$随机变量X的可能取值为0,1,2,3,则$P(X=0)=C_{3}^{0}×(1-0.7)^{3}=0.027,$$P(X=1)=C_{3}^{1}×0.7×(1-0.7)^{2}=0.189,$$P(X=2)=C_{3}^{2}×0.7^{2}×(1-0.7)=0.441,$$P(X=3)=C_{3}^{3}×0.7^{3}=0.343,$所以随机变量X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343所以$E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.$
(2)由题意知$\mu =1.5,σ=0.1,P(1.3＜Y≤1.4)=P(1.6＜Y≤1.7)=\frac {15}{120}=0.125,$$P(\mu -σ＜Y≤\mu +σ)=P(1.4＜Y≤1.6)=\frac {84}{120}=0.7,$$P(\mu -2σ＜Y≤\mu +2σ)=P(1.3＜Y≤1.7)=0.125+0.7+0.125=0.95,$因为$|0.7-0.6827|=0.0173＜0.05,$$|0.95-0.9545|=0.0045＜0.05,$所以这批零件的长度满足近似于正态分布$N(1.5,0.01)$的概率分布.所以认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.