《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例 4
某车间生产一批零件,现从中随机抽取 $10$ 个,测量其内径的数据如下 (单位：$mm$)：$192$,$192$,$193$,$197$,$200$,$202$,$203$,$204$,$208$,$209$. 设这 $10$ 个数据的均值为 $\mu$,标准差为 $\sigma$.
(1) 求 $\mu$ 和 $\sigma$；
(2) 已知这批零件的内径 $X$ (单位：$mm$) 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$,若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了 $5$ 个零件,测量其内径 (单位：$mm$) 分别为：$186$,$190$,$198$,$204$,$213$,如果你是该车间的负责人,以原设备生产性能为标准,试根据 $3\sigma$ 原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由.
参考数据：若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$,则 $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0.6827$,$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$,$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
(1)$\mu=200$，$\sigma=6$；
(2)不需要进一步调试，理由：五个零件的内径186,190,198,204,213均在$[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]=[182,218]$内，根据$3\sigma$原则，可以认为设备正常。

答案：
(1)$\mu=200$，$\sigma=6$；
(2)不需要进一步调试，理由：五个零件的内径186,190,198,204,213均在$[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]=[182,218]$内，根据$3\sigma$原则，可以认为设备正常。

(1) (多选) 某工厂为了提高工人的理论基础和实际操作技能,举办了青年工人“双能”大奖赛,满分为 $100$ 分,$60$ 分及格,竞赛成绩 $X$ 服从正态分布 $N(65,25)$,则 (AC)
A.竞赛成绩的平均值为 $65$ 分
B.竞赛成绩的标准差为 $25$
C.竞赛成绩的合格率约为 $0.84$
D.不合格人数与 $80$ 分以上人数大致相等

答案： AC