《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

(1) (多选) 甲、乙两类水果的质量 (单位：$kg$) 分别服从正态分布 $X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$,$Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$,其相应的分布密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (ACD)

A.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C.两类水果的质量服从的正态分布的参数 $\sigma_{1}＜\sigma_{2}$
D.甲类水果的平均质量 $\mu_{1}= 0.6\,kg$

答案： ACD

(2) 现已知随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(2,4)$. 若随机变量 $Z = aY - b$ ($a,b$ 为正实数) 服从标准正态分布,则 $a + b= $$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

(1) (多选) 关于标准正态分布 $N(0,1)$ 的正态密度函数 $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$,下列选项正确的是 (ABC)
A.$f(x)$ 为偶函数
B.$f(x)$ 的最大值是 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
C.$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递减
D.$f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称

答案： ABC

(2) 设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数 $f(x)$ 的图象,且 $f(x)= \frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-\frac{(x - 10)^{2}}{8}}(x\in\mathbf{R})$,则这个正态总体的均值是10；标准差是2.

答案： 10 2

二 利用正态分布的对称性求概率
1. 正态分布的几何意义

2. 服从于正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的随机变量 $X$ 在三个特殊区间内取值的概率
$P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx$①0.6827；$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx$②0.9545；$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx$③0.9973.

答案： ①0.6827 ②0.9545 ③0.9973

例 2
设随机变量 $X\sim N(2,\sigma^{2})$,若 $P(X＞c + 1)= P(X＜c - 1)$.
(1) 求 $c$ 的值；2
(2) 若 $\sigma = 3$,求 $P(-4\leqslant X\leqslant 8)$；0.9545
附：若随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$,则 $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0.6827$；$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$；$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
变式探究
1. (条件变式) 若本例条件 $\sigma = 3$ 变为 $\sigma = 2$,其他条件不变,求 $P(-4\leqslant X\leqslant 8)$.
2. (综合变式) 若本例条件 $\sigma = 3$ 变为 $P(X＜3)= 0.6$,其他条件不变,求 $P(1＜X＜2)$.

答案：
(1)2；
(2)0.9545