《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

4. 某企业举行“猜灯谜”趣味竞赛活动,每个员工从 8 道谜语中一次性抽出 4 道作答. 小张有 6 道谜语能猜中,2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为 $ p(0 ＜ p ＜ 1) $,且猜中每道谜语与否互不影响.
(1) 分别求小张,小王猜中谜语道数的分布列；
(2) 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,求 $ p $ 的取值范围.
（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2，3，4。$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{2}^{2}}{C_{8}^{4}}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14}$，$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{2}^{1}}{C_{8}^{4}}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}$，$P(X=4)=\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{0}}{C_{8}^{4}}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14}$，故小张猜中谜语道数的分布列为
X
2
3
4
P
$\frac{3}{14}$
$\frac{4}{7}$
$\frac{3}{14}$
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量$Y\sim B(4,p)$，Y的可能取值分别为0，1，2，3，4，$P(Y=0)=(1-p)^{4}$，$P(Y=1)=C_{4}^{1}p(1-p)^{3}=4p(1-p)^{3}$，$P(Y=2)=C_{4}^{2}p^{2}(1-p)^{2}=6p^{2}(1-p)^{2}$，$P(Y=3)=C_{4}^{3}p^{3}(1-p)=4p^{3}(1-p)$，$P(Y=4)=p^{4}$。故小王猜中谜语道数的分布列为
Y
0
1
2
3
4
P
$(1-p)^{4}$
$4p(1-p)^{3}$
$6p^{2}(1-p)^{2}$
$4p^{3}(1-p)$
$p^{4}$
（2）由（1）可知$E(X)=2×\frac{3}{14}+3×\frac{4}{7}+4×\frac{3}{14}=3$，$E(Y)=4p$，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则$3＞4p$，可得$0＜p＜\frac{3}{4}$。

答案： （1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2，3，4。$P(X=2)=\frac{C_{6}^{2}C_{2}^{2}}{C_{8}^{4}}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14}$，$P(X=3)=\frac{C_{6}^{3}C_{2}^{1}}{C_{8}^{4}}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}$，$P(X=4)=\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{0}}{C_{8}^{4}}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14}$，故小张猜中谜语道数的分布列为
X
2
3
4
P
$\frac{3}{14}$
$\frac{4}{7}$
$\frac{3}{14}$
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量$Y\sim B(4,p)$，Y的可能取值分别为0，1，2，3，4，$P(Y=0)=(1-p)^{4}$，$P(Y=1)=C_{4}^{1}p(1-p)^{3}=4p(1-p)^{3}$，$P(Y=2)=C_{4}^{2}p^{2}(1-p)^{2}=6p^{2}(1-p)^{2}$，$P(Y=3)=C_{4}^{3}p^{3}(1-p)=4p^{3}(1-p)$，$P(Y=4)=p^{4}$。故小王猜中谜语道数的分布列为
Y
0
1
2
3
4
P
$(1-p)^{4}$
$4p(1-p)^{3}$
$6p^{2}(1-p)^{2}$
$4p^{3}(1-p)$
$p^{4}$
（2）由（1）可知$E(X)=2×\frac{3}{14}+3×\frac{4}{7}+4×\frac{3}{14}=3$，$E(Y)=4p$，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则$3＞4p$，可得$0＜p＜\frac{3}{4}$。

思考 1
下列随机变量是不是离散型随机变量：
(1) 抛掷一枚质地均匀的骰子一次,用 $X$ 表示所得点数；
(2) 白炽灯的使用时间.
(1)是. (2)不是.

答案： 提示:
(1)是.
(2)不是.

思考 2
一所学校同年级的同学,身高特别高的同学比较少,特别矮的同学也不多,大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数,使用期过长,或过短的产品相对较少. 生活中这样的现象很多,身高、电子产品的使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,这类变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？
提示:这类变量为连续型随机变量,可用正态分布概率模型来刻画.

答案： 提示:这类变量为连续型随机变量,可用正态分布概率模型来刻画.

一 正态曲线及其特征
1. 正态曲线
若 $f(x)= ①$$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$$e$$-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$,$x\in\mathbf{R}$. 其中 $\mu\in\mathbf{R},\sigma＞0$ 为参数,我们称 $f(x)$ 为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
2. 正态分布
(1) 若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $f(x)$,则称随机变量 $X$ 服从正态分布,记为 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$. 特别地,当 $\mu=②$0,$\sigma=③$1时,称随机变量 $X$ 服从标准正态分布.
(2) 若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$,则 $E(X)= ④$$\mu$,$D(X)= ⑤$$\sigma^2$.
3. 正态曲线的特点
(1) 非负性：对 $\forall x\in\mathbf{R},f(x)＞0$,它的图象在 $x$ 轴的 $⑥$上方；
(2) 定值性：$x$ 轴与曲线之间的区域的面积为 $⑦$1；
(3) 对称性：曲线是单峰的,它关于直线 $⑧$$x=\mu$对称；
(4) 最大值：曲线在 $⑨$$x=\mu$处达到峰值 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$；
(5) 当 $|x|$ 无限增大时,曲线无限接近 $⑩$$x$轴；
(6) 当 $⑪$$\mu$一定时,正态曲线的位置由 $\mu$ 确定,且随着 $⑫$$\mu$的变化而沿 $x$ 轴平移,如图 1.
(7) 当 $\mu$ 一定时,正态曲线的形状由 $\sigma$ 确定,当 $\sigma$ 较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量 $X$ 的分布比较集中；当 $\sigma$ 较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量 $X$ 的分布比较分散,如图 2.

答案： ①$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ ②$e$ ③$-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ ④$\mu$ ⑤$\sigma^2$ ⑥上方 ⑦1 ⑧$x=\mu$ ⑨$x=\mu$ ⑩$x$轴 ⑪$\mu$ ⑫$\sigma$