《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

三 超几何分布的实际应用及均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数. 令p= $\frac{M}{N}$,则p是N件产品的次品率,而$\frac{X}{n}$是抽取的n件产品的次品率,则E(X)= $\frac{nM}{N}$= np.

答案： np

例2
近年来,民宿旅游逐渐成为一种热潮,山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱. 某地区结合当地资源,按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路,科学有序发展环山文旅康养产业,温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施. 为了在节假日接待好游客,该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研,随机抽取了10家乡村民宿,统计得到各家的房间数如下表：

(1) 若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研,求选出的4间均为普通型民宿的概率；
(2) 从这10家中随机抽取4家民宿,记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家,求X的分布列和均值.
【解】
(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件 A;“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件 B，所以选出的4间均为普通型民宿的概率为$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{6}^{2}}×\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{4}{15}$.
(2)由题表得这 10 家民宿中普通型民宿的房间不低于 17 间的有 4 家，则随机变量 X 的可能取值有 0,1,2,3,4.
$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{0}C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{3}}{C_{10}^{4}}=\frac{8}{21}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{4}{35}$，
$P(X = 4)=\frac{C_{4}^{4}C_{6}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{210}$.
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P $\frac{1}{14}$ $\frac{8}{21}$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{35}$ $\frac{1}{210}$
方法一:$E(X)=0×\frac{1}{14}+1×\frac{8}{21}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{4}{35}+4×\frac{1}{210}=\frac{8}{5}$.
方法二:随机变量 X 服从超几何分布，其中$N = 10,M = 4,n = 4$，所以$E(X)=\frac{nM}{N}=\frac{4×4}{10}=\frac{8}{5}$.

答案： 【解】
(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件 A;“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件 B，所以选出的4间均为普通型民宿的概率为$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{6}^{2}}×\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{4}{15}$.
(2)由题表得这 10 家民宿中普通型民宿的房间不低于 17 间的有 4 家，则随机变量 X 的可能取值有 0,1,2,3,4.
$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{0}C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{3}}{C_{10}^{4}}=\frac{8}{21}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{4}{35}$，
$P(X = 4)=\frac{C_{4}^{4}C_{6}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{210}$.
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P $\frac{1}{14}$ $\frac{8}{21}$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{35}$ $\frac{1}{210}$
方法一:$E(X)=0×\frac{1}{14}+1×\frac{8}{21}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{4}{35}+4×\frac{1}{210}=\frac{8}{5}$.
方法二:随机变量 X 服从超几何分布，其中$N = 10,M = 4,n = 4$，所以$E(X)=\frac{nM}{N}=\frac{4×4}{10}=\frac{8}{5}$.

一盘子中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个.
(1) 求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
(2) 设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与均值.
解:
(1)依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为$\frac{C_{2}^{1}C_{6}^{2}+C_{2}^{2}C_{6}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{9}{14}$.
(2)X 的可能取值为 0,1,2.
$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{0}C_{6}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{5}{14}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{6}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{15}{28}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{6}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{3}{28}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P $\frac{5}{14}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{3}{28}$
所以$E(X)=0×\frac{5}{14}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{28}=\frac{3}{4}$.

答案： 解:
(1)依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为$\frac{C_{2}^{1}C_{6}^{2}+C_{2}^{2}C_{6}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{9}{14}$.
(2)X 的可能取值为 0,1,2.
$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{0}C_{6}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{5}{14}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{6}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{15}{28}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{6}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{3}{28}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P $\frac{5}{14}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{3}{28}$
所以$E(X)=0×\frac{5}{14}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{28}=\frac{3}{4}$.