《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

思考1
已知在10件产品中有4件次品,采用有放回的方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,试写出X的分布列.
X的分布列为$P(X=k)=C_{3}^{k}(0.4)^{k}(1 - 0.4)^{3 - k},k = 0,1,2,3$

答案： 提示:采用有放回抽样时,X 服从二项分布,即$X\sim B(3,0.4)$,其分布列为$P(X=k)=C_{3}^{k}(0.4)^{k}(1 - 0.4)^{3 - k},k = 0,1,2,3$.

思考2
已知在10件产品中有4件次品,采用不放回的方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,X还服从二项分布吗？你能求出P(X= 2)吗？
一 超几何分布的概念
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X= k)=$\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$,k= m,m+1,m+2,…,r. 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max{0,n-N+M},r= min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
提示:若采用不放回抽样时,X 不服从二项分布;“$X = 2$”表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有$C_{4}^{2}C_{6}^{1}$种取法，故$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{3}$.

答案： 提示:若采用不放回抽样时,X 不服从二项分布;“$X = 2$”表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有$C_{4}^{2}C_{6}^{1}$种取法，故$P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{3}$.
—$\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1) 超几何分布是不放回抽样. (√)
(2) 超几何分布的总体只有两类个体. (√)
(3) 对于同一个摸球模型,超几何分布与二项分布的均值相同. (√)
(4) 超几何分布与二项分布没有任何联系. (×)

答案：
(1)√　
(2)√　
(3)√　
(4)×

2. (多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有(CD)
A.抛掷三枚骰子,向上的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子的个数X
C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数X
D.某班级有男生25人,女生20人. 选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生的人数X

答案： 解析:选 CD.选项 A,B 是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故 A,B 不符合题意;选项 C,D 符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量 X 表示抽取 n 件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.故选 CD.

3. 在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选m个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布. 若m= 3时,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3；若m= 8时,随机变量X的取值的最大值为7.

答案： 解析:根据超几何分布的概念，若$m = 3$时，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3;若$m = 8$时，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,…,7，故随机变量 X 的取值的最大值为 7.
答案:0,1,2,3　7

例1
(对接教材例6)一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3；黑球有2个,编号为1,2；白球有1个,编号为1. 现从袋中一次随机抽取3个球.
(1) 求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2) 记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
【变式探究】
1. (设问变式)在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
2. (条件变式)将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何？
【解】
(1)从袋中一次随机抽取3个球，所有取法的总数$n = C_{6}^{3}=20$，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为$C_{3}^{1}C_{2}^{1}C_{1}^{1}=6$，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为$P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
$P(X = 0)=\frac{C_{3}^{0}C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}C_{3}^{0}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{1}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{1}{20}$
【变式探究】
1. 解:由题意可知η的可能取值为 0,1，服从两点分布.又$P(η = 1)=\frac{C_{1}^{1}C_{5}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{2}$，$P(η = 0)=1 - P(η = 1)=\frac{1}{2}$，所以η的分布列为
η 0 1
P $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
2. 解:
(1)取出3个球颜色都不相同的概率$P=\frac{C_{3}^{1}×C_{2}^{1}×C_{1}^{1}×A_{3}^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{6}$.
(2)由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3.
方法一:$P(X = 0)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{8}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}×3×3×3}{6^{3}}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}×3×3×3}{6^{3}}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 3)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{8}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
方法二:可以根据$X\sim B(3,\frac{1}{2})$，由$P(X = k)=C_{3}^{k}(1 - \frac{1}{2})^{3 - k}(\frac{1}{2})^{k}$求出各式概率，下同方法一.

答案： 【解】
(1)从袋中一次随机抽取3个球，所有取法的总数$n = C_{6}^{3}=20$，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为$C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1}=6$，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为$P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{0}C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{2}^{3}C_{4}^{0}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{1}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{1}{20}$
【变式探究】
1. 解:由题意可知η的可能取值为 0,1，服从两点分布.又$P(η = 1)=\frac{C_{1}^{1}C_{9}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{2}$，$P(η = 0)=1 - P(η = 1)=\frac{1}{2}$，所以η的分布列为
η 0 1
P $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
2. 解:
(1)取出3个球颜色都不相同的概率$P=\frac{C_{3}^{1}×C_{2}^{1}×C_{1}^{1}×A_{3}^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{6}$.
(2)由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3.
方法一:$P(X = 0)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{8}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}×3×3×3}{6^{3}}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}×3×3×3}{6^{3}}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 3)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{8}$.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
方法二:可以根据$X\sim B(3,\frac{1}{2})$，由$P(X = k)=C_{3}^{k}(1 - \frac{1}{2})^{3 - k}(\frac{1}{2})^{k}$求出各式概率，下同方法一.