《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

为了远程性和安全性上与美国波音 747 竞争,欧洲空中客车公司设计并制造了 A340,它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机,取代只有两台发动机的 A310,假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 $ 1 - p $,且各引擎是否有故障是独立的,已知 A340 飞机至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行；A310 飞机需要 2 个引擎全部正常运行,飞机才能成功飞行。若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安全,求飞机引擎的故障率应控制在什么范围之内。
解:若A340飞机正常飞行，至少3个引擎正常运行，概率$P_1 = C_4^3p^3(1 - p)+p^4=p^3(4 - 3p)$，若A310飞机正常飞行，则2个引擎都正常运行，概率$P_2 = p^2$，由题意可知，$p^3(4 - 3p)＞p^2$，解得$\frac{1}{3}＜p＜1$，则$0＜1 - p＜\frac{2}{3}$，所以飞机引擎的故障率应控制的范围是$(0,\frac{2}{3})$。

答案： 解:若A340飞机正常飞行，至少3个引擎正常运行，概率$P_1 = C_4^3p^3(1 - p)+p^4=p^3(4 - 3p)$，若A310飞机正常飞行，则2个引擎都正常运行，概率$P_2 = p^2$，由题意可知，$p^3(4 - 3p)＞p^2$，解得$\frac{1}{3}＜p＜1$，则$0＜1 - p＜\frac{2}{3}$，所以飞机引擎的故障率应控制的范围是$(0,\frac{2}{3})$.

1. (教材 $ P_{76}T_{1} $ 改编)某同学随机抛掷一枚骰子 4 次,则该同学得到 1 点或 5 点的次数超过 2 次的概率为 (A)
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{7}{27}$
C.$\dfrac{8}{27}$
D.$\dfrac{8}{29}$

答案： A

2. (多选)若袋子中有 4 个白球,2 个黑球,现从袋子中有放回地随机取 4 次球,每次取一个球,取到白球记 1 分,取到黑球记 0 分,记 4 次取球的总分数为 $ X $,则 (BC)
A.$ X \sim B\left(4,\dfrac{1}{3}\right) $
B.$ P(X = 3) = \dfrac{32}{81} $
C.$ E(X) = \dfrac{8}{3} $
D.$ D(X) = \dfrac{16}{9} $

答案： BC

3. (教材 $ P_{81}T_{3} $ 改编)位于坐标原点的一个点 $ A $ 按下述规则移动：$ A $ 每次只能向下或向左移动一个单位长度,且向左移动的概率为 $\dfrac{1}{5}$ 。那么 $ A $ 移动 5 次后位于点 $ (-4,-1) $ 的概率是 $\frac{4}{625}$。

答案： $\frac{4}{625}$

4. 某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的,这三道工序互不影响,已知生产该产品三道工序的次品率分别为 $\dfrac{1}{10}$,$\dfrac{1}{11}$,$\dfrac{1}{12}$。
(1) 求该产品的次品率；
(2) 从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件,记次品的件数为 $ X $,求随机变量 $ X $ 的分布列。
(1)该产品的正品率为$P=(1 - \frac{1}{10})×(1 - \frac{1}{11})×(1 - \frac{1}{12})=\frac{3}{4}$，所以该产品的次品率为$1 - \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
(2)由题意得$X = 0,1,2,3$，且$X\sim B(3,\frac{1}{4})$，$P(X = 0)=(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，$P(X = 1)=C_3^1×(\frac{3}{4})^2×\frac{1}{4}=\frac{27}{64}$，$P(X = 2)=C_3^2×\frac{3}{4}×(\frac{1}{4})^2=\frac{9}{64}$，$P(X = 3)=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$.所以X的分布列如下
X 0 1 2 3
P $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$

答案： 解:
(1)该产品的正品率为$P=(1 - \frac{1}{10})×(1 - \frac{1}{11})×(1 - \frac{1}{12})=\frac{3}{4}$，所以该产品的次品率为$1 - \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
(2)由题意得$X = 0,1,2,3$，且$X\sim B(3,\frac{1}{4})$，$P(X = 0)=(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，$P(X = 1)=C_3^1×(\frac{3}{4})^2×\frac{1}{4}=\frac{27}{64}$，$P(X = 2)=C_3^2×\frac{3}{4}×(\frac{1}{4})^2=\frac{9}{64}$，$P(X = 3)=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$.所以X的分布列如下
X 0 1 2 3
P $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$