《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

(1) “黄梅时节家家雨,青草池塘处处蛙”,黄梅时节就是梅雨季节,每年 6 月至 7 月会出现持续天阴有雨的天气,它是一种自然气候现象。根据历史数据统计,长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为 $\dfrac{4}{5}$ 。假设每天是否下雨互不影响,则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为 (A)
A.$\dfrac{24}{25}$
B.$\dfrac{16}{25}$
C.$\dfrac{8}{25}$
D.$\dfrac{4}{25}$

答案： A

(2) 一次掷两枚骰子,若两枚骰子点数之和为 4 或 5 或 6,则称这是一次成功试验。现进行四次试验,则恰出现一次成功试验的概率为 $\frac{32}{81}$。

答案： $\frac{32}{81}$

四 二项分布的均值与方差
(1) 若 $ X $ 服从两点分布,则 $ E(X) = \textcircled{1} $ p , $ D(X) = \textcircled{2} $ $p(1 - p)$ 。
(2) 若 $ X \sim B(n,p) $,则 $ E(X) = \textcircled{3} $ $np$ , $ D(X) = \textcircled{4} $ $np(1 - p)$ 。

答案： ①p　②$p(1 - p)$　③$np$　④$np(1 - p)$

例 3 (1)(多选)已知两个随机变量 $ X $,$ Y $ 满足 $ Y = 5X - 2 $,若 $ X \sim B\left(10,\dfrac{3}{5}\right) $,则 (ABD)
A.$ E(X) = 6 $
B.$ D(X) = \dfrac{12}{5} $
C.$ E(Y) = 30 $
D.$ D(Y) = 60 $

答案： ABD

(2) 某人参加驾照考试,共考 4 个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是 $ p $,且 $ p ＞ \dfrac{1}{2} $,若此人通过的科目数 $ X $ 的方差是 $\dfrac{8}{9}$,则 $ E(X) = $ $\frac{8}{3}$。

答案： $\frac{8}{3}$

(1) 已知随机变量 $ \xi \sim B(n,p) $,若 $ E(\xi) = 2 $, $ D(\xi) = 1 $,则 $ P(\xi = 2) = $ (C)
A.$\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{3}{8}$
D.$\dfrac{1}{2}$

答案： C

(2) 有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放回地任取 3 件,若 $ X $ 表示取到次品的次数,则 $ P(X = 2) = $ $\frac{9}{64}$, $ D(X) = $ $\frac{9}{16}$。

答案： $\frac{9}{64}$　$\frac{9}{16}$

五 二项分布的实际应用
例 4 (对接教材例 3)甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛,采用 $ 2n - 1 $ 局 $ n $ 胜制 ($ n \in \mathbf{N}^{*} $) 的比赛规则,即先赢下 $ n $ 局比赛者最终获胜。已知每局比赛甲获胜的概率为 $ p $,乙获胜的概率为 $ 1 - p $,比赛结束时,甲最终获胜的概率为 $ P_{n}(n \in \mathbf{N}^{*}) $。
(1) 若 $ p = \dfrac{1}{2} $, $ n = 2 $,结束比赛时,比赛的局数为 $ X $,求 $ X $ 的分布列与均值；
(2) 若采用 5 局 3 胜制比采用 3 局 2 胜制对甲更有利,即 $ P_{3} ＞ P_{2} $。求 $ p $ 的取值范围。
[解]　(1)$p=\frac{1}{2}$，$n = 2$，即采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3，$P(X = 2)=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，$P(X = 3)=C_2^1×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}+C_2^1×\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，X的分布列如下表
X 2 3
P $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
所以X的均值为$E(X)=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.(2)采用3局2胜制:不妨设赛满3局，用$\xi$表示3局比赛中甲胜的局数，则$\xi\sim B(3,p)$，甲最终获胜的概率为$P_2 = P(\xi = 2)+P(\xi = 3)=C_3^2p^2(1 - p)+C_3^3p^3=p^2[C_3^2(1 - p)+C_3^3p]=p^2(3 - 2p)$，采用5局3胜制:不妨设赛满5局，用$\eta$表示5局比赛中甲胜的局数，则$\eta\sim B(5,p)$，甲最终获胜的概率为$P_3 = P(\eta = 3)+P(\eta = 4)+P(\eta = 5)=C_5^3p^3(1 - p)^2+C_5^4p^4(1 - p)+C_5^5p^5=p^3[C_5^3(1 - p)^2+C_5^4p(1 - p)+C_5^5p^2]=p^3(6p^2 - 15p + 10)$，$P_3 - P_2=p^3(6p^2 - 15p + 10)-p^2(3 - 2p)=p^2(6p^3 - 15p^2 + 10p - 3 + 2p)=3p^2(2p^3 - 5p^2 + 4p - 1)=3p^2(p - 1)(2p^2 - 3p + 1)=3p^2(1 - p)^2(2p - 1)＞0$，得$\frac{1}{2}＜p＜1$.

答案： [解]　
(1)$p=\frac{1}{2}$，$n = 2$，即采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3，$P(X = 2)=(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，$P(X = 3)=C_2^1×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}+C_2^1×\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$，X的分布列如下表
X 2 3
P $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
所以X的均值为$E(X)=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
(2)采用3局2胜制:不妨设赛满3局，用$\xi$表示3局比赛中甲胜的局数，则$\xi\sim B(3,p)$，甲最终获胜的概率为$P_2 = P(\xi = 2)+P(\xi = 3)=C_3^2p^2(1 - p)+C_3^3p^3=p^2[C_3^2(1 - p)+C_3^3p]=p^2(3 - 2p)$，采用5局3胜制:不妨设赛满5局，用$\eta$表示5局比赛中甲胜的局数，则$\eta\sim B(5,p)$，甲最终获胜的概率为$P_3 = P(\eta = 3)+P(\eta = 4)+P(\eta = 5)=C_5^3p^3(1 - p)^2+C_5^4p^4(1 - p)+C_5^5p^5=p^3[C_5^3(1 - p)^2+C_5^4p(1 - p)+C_5^5p^2]=p^3(6p^2 - 15p + 10)$，$P_3 - P_2=p^3(6p^2 - 15p + 10)-p^2(3 - 2p)=p^2(6p^3 - 15p^2 + 10p - 3 + 2p)=3p^2(2p^3 - 5p^2 + 4p - 1)=3p^2(p - 1)(2p^2 - 3p + 1)=3p^2(1 - p)^2(2p - 1)＞0$，得$\frac{1}{2}＜p＜1$.