《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

(1) 某人射击一次命中目标的概率为 $ 0.8 $,现在他连续射击 6 次,则命中 3 次且恰有 2 次连中的概率为 (C)
A.$ 0.8^{3} × 0.2^{3} $
B.$ C_{6}^{3}0.8^{3} × 0.2^{3} $
C.$ A_{4}^{2}0.8^{3} × 0.2^{3} $
D.$ C_{4}^{2}0.8^{3} × 0.2^{3} $

答案： C

(2) 某产品正品率为 $\dfrac{7}{8}$,次品率为 $\dfrac{1}{8}$,现对该产品进行测试,若第 $ X $ 次首次测到正品,则 $ P(X = 3) = $ $\frac{7}{512}$。

答案： $\frac{7}{512}$

三 二项分布
一般地,在 $ n $ 重伯努利试验中,设每次试验中事件 $ A $ 发生的概率为 $ p(0 ＜ p ＜ 1) $,用 $ X $ 表示事件 $ A $ 发生的次数,则 $ X $ 的分布列为 $ P(X = k) = \textcircled{1} $$C_n^kp^k(1 - p)^{n - k},k = 0,1,2,\cdots,n$。如果随机变量 $ X $ 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 $ X $ 服从二项分布,记作 $\textcircled{2}$$X\sim B(n,p)$。

答案： ①$C_n^kp^k(1 - p)^{n - k},k = 0,1,2,\cdots,n$　②$X\sim B(n,p)$

例 2 在一个袋子里有大小一样的 5 个小球,其中有 3 个红球和 2 个白球。
(1) 若有放回地每次从中摸出 1 个球,连摸 3 次,设摸到红球的次数为 $ X $,求随机变量 $ X $ 的分布列；
(2) 若每次任意取出 1 个球,记录颜色后放回袋中,直到取到 2 个红球就停止,设取球的次数为 $ Y $,求 $ Y = 4 $ 的概率。
[解]
(1)由题意得$X\sim B(3,\frac{3}{5})$，X的可能取值为0,1,2,3，所以$P(X = 0)=C_3^0×(1 - \frac{3}{5})^3=\frac{8}{125}$，$P(X = 1)=C_3^1×\frac{3}{5}×(1 - \frac{3}{5})^2=\frac{36}{125}$，$P(X = 2)=C_3^2×(\frac{3}{5})^2×(1 - \frac{3}{5})=\frac{54}{125}$，$P(X = 3)=C_3^3×(\frac{3}{5})^3=\frac{27}{125}$.
分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{8}{125}$ $\frac{36}{125}$ $\frac{54}{125}$ $\frac{27}{125}$
(2)依题意，每次取到红球的概率为$\frac{3}{5}$，取到白球的概率为$\frac{2}{5}$.Y = 4即“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，所以$P(Y = 4)=C_3^1×\frac{3}{5}×(\frac{2}{5})^2×\frac{3}{5}=\frac{108}{625}$.

答案： [解]
(1)由题意得$X\sim B(3,\frac{3}{5})$，X的可能取值为0,1,2,3，所以$P(X = 0)=C_3^0×(1 - \frac{3}{5})^3=\frac{8}{125}$，$P(X = 1)=C_3^1×\frac{3}{5}×(1 - \frac{3}{5})^2=\frac{36}{125}$，$P(X = 2)=C_3^2×(\frac{3}{5})^2×(1 - \frac{3}{5})=\frac{54}{125}$，$P(X = 3)=C_3^3×(\frac{3}{5})^3=\frac{27}{125}$.
分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{8}{125}$ $\frac{36}{125}$ $\frac{54}{125}$ $\frac{27}{125}$
(2)依题意，每次取到红球的概率为$\frac{3}{5}$，取到白球的概率为$\frac{2}{5}$.Y = 4即“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，所以$P(Y = 4)=C_3^1×\frac{3}{5}×(\frac{2}{5})^2×\frac{3}{5}=\frac{108}{625}$.