《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

有以下几个试验：
(1) 投掷一枚相同的硬币 5 次,每次正面向上的概率为 $ 0.5 $；
(2) 某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为 $ 0.7 $,现有气球 10 个；
(3) 连续投掷一枚图钉 3 次,且每次针尖向上的概率为 $ p $。
思考 上面几个试验有什么共同的特点？
提示:①每次试验相互独立;②每次试验只有两种可能的结果:发生或不发生;③每次试验发生的概率相同，不发生的概率也相同.

答案： 提示:①每次试验相互独立;②每次试验只有两种可能的结果:发生或不发生;③每次试验发生的概率相同，不发生的概率也相同.

一$ n $ 重伯努利试验
1. 伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验。
2. $ n $ 重伯努利试验：将一个伯努利试验 $\textcircled{1}$ 独立地重复进行 $ n $ 次所组成的随机试验称为 $ n $ 重伯努利试验。
3. $ n $ 重伯努利试验的共同特征
(1) 同一个伯努利试验 $\textcircled{2}$ 重复做 $ n $ 次；
(2) 各次试验的结果 $\textcircled{3}$ 相互独立。

答案： ①独立地重复　②重复　③相互独立

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 有放回地抽样试验是 $ n $ 重伯努利试验。(√)
(2) 在 $ n $ 重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响。(√)
(3) 在 $ n $ 重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同。(×)
(4) 一次伯努利试验中,事件 $ A $ 发生的次数 $ X $ 服从两点分布。(√)

答案：
(1)√　
(2)√　
(3)×　
(4)√

2. 下列事件是 $ n $ 重伯努利试验的是 (D)
A.运动员甲射击一次,“射中 9 环”与“射中 8 环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击 10 次,5 次击中目标

答案： D

二 $ n $ 重伯努利试验的概率计算
例 1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 $\dfrac{2}{3}$ 和 $\dfrac{3}{4}$,假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响。
(1) 求甲、乙各射击一次,至少击中目标一次的概率；
(2) 假设甲射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次没有击中目标的概率。
【变式探究】
1. (设间变式)在本例条件下,求两人各射击 2 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好第 2 次击中目标的概率。
2. (设问变式)在本例条件下,若乙在射击中出现连续 2 次未击中目标就会被终止射击,求乙恰好射击 4 次后被终止射击的概率。
[解]　(1)方法一:甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+(1-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×(1-\frac{3}{4})=\frac{11}{12}$。方法二:甲、乙各射击一次，均未击中目标的概率为$(1-\frac{2}{3})×(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{12}$，所以至少击中目标一次的概率为$1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$。(2)设“甲第i次射击击中目标”为事件$A_i(i=1,2,3,4,5)$，“甲在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则$A=A_1A_2A_3\overline{A}_4\overline{A}_5+\overline{A}_1A_2A_3A_4\overline{A}_5+\overline{A}_1\overline{A}_2A_3A_4A_5$，所以$P(A)=P(A_1A_2A_3\overline{A}_4\overline{A}_5)+P(\overline{A}_1A_2A_3A_4\overline{A}_5)+P(\overline{A}_1\overline{A}_2A_3A_4A_5)=(\frac{2}{3})^3×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^3×\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2×(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{81}$。【变式探究】1.解:设“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件B，则$P(B)=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设“乙射击2次，恰好第2次击中目标”为事件C，则$P(C)=(1-\frac{3}{4})×\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$，由于甲、乙射击相互独立，故$P(BC)=\frac{4}{9}×\frac{3}{16}=\frac{1}{12}$。2.解:乙恰好射击4次后被终止射击，则第2次击中，后两次未击中，故所求概率为$1×\frac{3}{4}×(1-\frac{3}{4})×(1-\frac{3}{4})=\frac{3}{64}$。

答案： [解]　
(1)方法一:甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+(1-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×(1-\frac{3}{4})=\frac{11}{12}$.
方法二:甲、乙各射击一次，均未击中目标的概率为$(1-\frac{2}{3})×(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{12}$，所以至少击中目标一次的概率为$1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$.
(2)设“甲第i次射击击中目标”为事件$A_i(i=1,2,3,4,5)$，“甲在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则$A=A_1A_2A_3\overline{A}_4\overline{A}_5+\overline{A}_1A_2A_3A_4\overline{A}_5+\overline{A}_1\overline{A}_2A_3A_4A_5$，所以$P(A)=P(A_1A_2A_3\overline{A}_4\overline{A}_5)+P(\overline{A}_1A_2A_3A_4\overline{A}_5)+P(\overline{A}_1\overline{A}_2A_3A_4A_5)=(\frac{2}{3})^3×(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^3×\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2×(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{81}$.
【变式探究】
1.解:设“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件B，则$P(B)=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设“乙射击2次，恰好第2次击中目标”为事件C，则$P(C)=(1-\frac{3}{4})×\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$，由于甲、乙射击相互独立，故$P(BC)=\frac{4}{9}×\frac{3}{16}=\frac{1}{12}$.
2.解:乙恰好射击4次后被终止射击，则第2次击中，后两次未击中，故所求概率为$1×\frac{3}{4}×(1-\frac{3}{4})×(1-\frac{3}{4})=\frac{3}{64}$.