《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

跟踪训练 3 某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告。某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案：
方案一：投放平台广告,据市场调研,其收益为 $ X $ 万元,$ X $ 的可能取值为 $ 0,20,40 $,且 $ P(X = 20)= 0.3 $,均值 $ E(X)= 30 $。
方案二：投放传统广告,据市场调研,其收益为 $ Y $ 万元,$ Y $ 的可能取值为 $ 10,20,30 $,其概率依次为 $ 0.3,0.4,0.3 $。
(1)请写出方案一的分布列,并求方差 $ D(X) $；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由。
解:
(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,
依题意得a+b+0.3=1,①
又E(X)=0×a+20×0.3+40×b=30,②
由①②解得a=0.1,b=0.6.
所以X的分布列为
X
0
20
40
P
0.1
0.3
0.6
则D(X)=(0-30)²×0.1+(20-30)²×0.3+(40-30)²×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y
10
20
30
P
0.3
0.4
0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,
D(Y)=(10-20)²×0.3+(20-20)²×0.4+(30-20)²×0.3=60.
由E(X)＞E(Y)可知投放平台广告的收益均值较大,又D(X)＞D(Y),说明投放平台广告的风险较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择投放平台广告;如果公司期望收益稳定,选择投放传统广告.

答案： 解:
(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,
依题意得a+b+0.3=1,①
又E(X)=0×a+20×0.3+40×b=30,②
由①②解得a=0.1,b=0.6.
所以X的分布列为
X
0
20
40
P
0.1
0.3
0.6
则D(X)=(0-30)²×0.1+(20-30)²×0.3+(40-30)²×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y
10
20
30
P
0.3
0.4
0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,
D(Y)=(10-20)²×0.3+(20-20)²×0.4+(30-20)²×0.3=60.
由E(X)＞E(Y)可知投放平台广告的收益均值较大,又D(X)＞D(Y),说明投放平台广告的风险较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择投放平台广告;如果公司期望收益稳定,选择投放传统广告.