《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

1. 若随机变量 $ X $ 的分布列如下：

则 $ D(X) = $(C)
A.0.5
B.0.42
C.0.24
D.0.16

答案： 解析:选C.根据分布列的性质可得m=1-0.4=0.6,所以$E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,$所以$D(X)=(0-0.6)^{2}×0.4+(1-0.6)^{2}×0.6=0.24.$故选C.

2. (多选)(教材 $ P_{70} $ $ T_1 $ 改编)设随机变量 $ X $ 的分布列为 $ P(X = k) = \frac{k}{6} $($ k = 1, 2, 3 $),则(ABD)
A.$ E(X) = \frac{7}{3} $
B.$ D(X) = \frac{5}{9} $
C.$ E(3X + 1) = 7 $
D.$ D(3X + 1) = 5 $

答案： 解析:选ABD.由题意可得$E(X)=1×\frac{1}{6}+2×\frac{2}{6}+3×\frac{3}{6}=\frac{7}{3},$则$D(X)=(1-\frac{7}{3})^{2}×\frac{1}{6}+(2-\frac{7}{3})^{2}×\frac{2}{6}+(3-\frac{7}{3})^{2}×\frac{3}{6}=\frac{5}{9},$故$E(3X+1)=3E(X)+1=8,D(3X+1)=3^{2}D(X)=5.$故选ABD.

3. 已知随机变量 $ \xi $ 的分布列为

若 $ a $,$ b $,$ c $ 成等差数列,且 $ E(\xi) = \frac{1}{3} $,则 $ b $ 的值是 \underline{$\frac{1}{3}$},$ D(\xi) $ 的值是 \underline{$\frac{5}{9}$}.

答案： 解析:由a,b,c成等差数列得2b=a+c,①又由分布列的性质得a+b+c=1,②$E(ξ)=-a+c=\frac{1}{3},$③联立①②③解得$a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{2},$则$D(ξ)=(-1-\frac{1}{3})^{2}×\frac{1}{6}+(0-\frac{1}{3})^{2}×\frac{1}{3}+(1-\frac{1}{3})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{9}.$答案:$\frac{1}{3}$ $\frac{5}{9}$

4. (教材 $ P_{70} $ $ T_3 $ 改编)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 $ \xi $,$ \eta $,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环,且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,$ 3a $,$ a $,0.1,乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2. 比较甲、乙的射击技术水平.
解:由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.所以$E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,$$D(ξ)=(10-9.2)^{2}×0.5+(9-9.2)^{2}×0.3+(8-9.2)^{2}×0.1+(7-9.2)^{2}×0.1=0.96.$因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,所以$E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,$$D(η)=(10-8.7)^{2}×0.3+(9-8.7)^{2}×0.3+(8-8.7)^{2}×0.2+(7-8.7)^{2}×0.2=1.21.$由于$E(ξ)＞E(η),D(ξ)＜D(η),$说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比乙稳定,所以甲比乙的射击技术水平高.

答案： 解:由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.所以$E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,$$D(ξ)=(10-9.2)^{2}×0.5+(9-9.2)^{2}×0.3+(8-9.2)^{2}×0.1+(7-9.2)^{2}×0.1=0.96.$因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,所以$E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,$$D(η)=(10-8.7)^{2}×0.3+(9-8.7)^{2}×0.3+(8-8.7)^{2}×0.2+(7-8.7)^{2}×0.2=1.21.$由于$E(ξ)＞E(η),D(ξ)＜D(η),$说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比乙稳定,所以甲比乙的射击技术水平高.