《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

已知随机变量 $ X $ 的分布列为

若 $ E(X) = \frac{2}{3} $.
(1) 求 $ D(X) $ 的值；
(2) 若 $ Y = 3X - 2 $,求 $ \sqrt{D(Y)} $ 的值.
(1)$\frac{5}{9}$
(2)$\sqrt{5}$

答案： 解:
(1)由题意可得$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+p=1,\\ E(X)=0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{3}+xp=\frac{2}{3},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} p=\frac{1}{6},\\ x=2,\end{array}\right. $所以$D(X)=(0-\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{2}+(1-\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}+(2-\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{6}=\frac{5}{9}.$
(2)因为Y=3X-2,则$D(Y)=9D(X)=5$,所以$\sqrt{D(Y)}=\sqrt{5}.$

甲、乙两名射手在一次射击比赛中得分为两个相互独立的随机变量 $ \xi $ 与 $ \eta $,且 $ \xi $,$ \eta $ 的分布列为


(1) 求 $ a $,$ b $ 的值；
(2) 计算 $ \xi $,$ \eta $ 的均值与方差,并以此分析甲、乙技术水平.
【解】
(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,所以b=0.4.
(2)$E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,$$E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,$$D(ξ)=(1-2.3)^{2}×0.3+(2-2.3)^{2}×0.1+(3-2.3)^{2}×0.6=0.81,$$D(η)=(1-2)^{2}×0.3+(2-2)^{2}×0.4+(3-2)^{2}×0.3=0.6.$由于$E(ξ)＞E(η)$,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但$D(ξ)＞D(η)$,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.

答案： 【解】
(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,所以b=0.4.
(2)$E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,$$E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,$$D(ξ)=(1-2.3)^{2}×0.3+(2-2.3)^{2}×0.1+(3-2.3)^{2}×0.6=0.81,$$D(η)=(1-2)^{2}×0.3+(2-2)^{2}×0.4+(3-2)^{2}×0.3=0.6.$由于$E(ξ)＞E(η)$,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但$D(ξ)＞D(η)$,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.

甲、乙两种品牌手表,它们的日走时误差分别为 $ X $ 和 $ Y $(单位：$ s $),其分布列为
甲品牌的日走时误差分布列

乙品牌的日走时误差分布列

(1) 求 $ E(X) $ 和 $ E(Y) $；
(2) 求 $ D(X) $ 和 $ D(Y) $,并比较两种品牌手表的性能.
解:
(1)由已知可得,$E(X)=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0,$$E(Y)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0.$
(2)由
(1)知,$E(X)=0,$所以$D(X)=(-1-0)^{2}×0.1+(0-0)^{2}×0.8+(1-0)^{2}×0.1=0.2.$又$E(Y)=0,$所以$D(Y)=(-2-0)^{2}×0.1+(-1-0)^{2}×0.2+(0-0)^{2}×0.4+(1-0)^{2}×0.2+(2-0)^{2}×0.1=1.2.$所以,$E(X)=E(Y),D(X)＜D(Y),$所以,甲、乙两种品牌手表日走时误差的平均水平相当,但是甲品牌的手表走时更稳定.

答案： 解:
(1)由已知可得,$E(X)=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0,$$E(Y)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0.$
(2)由
(1)知,$E(X)=0,$所以$D(X)=(-1-0)^{2}×0.1+(0-0)^{2}×0.8+(1-0)^{2}×0.1=0.2.$又$E(Y)=0,$所以$D(Y)=(-2-0)^{2}×0.1+(-1-0)^{2}×0.2+(0-0)^{2}×0.4+(1-0)^{2}×0.2+(2-0)^{2}×0.1=1.2.$所以,$E(X)=E(Y),D(X)＜D(Y),$所以,甲、乙两种品牌手表日走时误差的平均水平相当,但是甲品牌的手表走时更稳定.