《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

例 1
(对接教材例 5)袋中有形状、大小完全相同的 3 个球,编号分别为 1,2,3. 用 $ X $ 表示取出的 2 个球中的最大号码,有放回地从袋中取两次,每次取 1 个球,求 $ X $ 的方差.
【解】由题意知X的可能取值为1,2,3,当X=1时,有(1,1)一种情况；当X=2时,有(1,2),(2,1),(2,2)三种情况；当X=3时,有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)五种情况,则$P(X=1)=\frac{1}{9},P(X=2)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3},$$P(X=3)=\frac{5}{9},$所以X的分布列为
X 1 2 3
P $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{5}{9}$
所以X的均值为$E(X)=1×\frac{1}{9}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{5}{9}=\frac{22}{9},$方差为$D(X)=(1-\frac{22}{9})^{2}×\frac{1}{9}+(2-\frac{22}{9})^{2}×\frac{1}{3}+(3-\frac{22}{9})^{2}×\frac{5}{9}=\frac{38}{81}.$

答案： 【解】由题意知X的可能取值为1,2,3,当X=1时,有(1,1)一种情况；当X=2时,有(1,2),(2,1),(2,2)三种情况；当X=3时,有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)五种情况,则$P(X=1)=\frac{1}{9},P(X=2)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3},$$P(X=3)=\frac{5}{9},$所以X的分布列为
X 1 2 3
P $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{5}{9}$
所以X的均值为$E(X)=1×\frac{1}{9}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{5}{9}=\frac{22}{9},$方差为$D(X)=(1-\frac{22}{9})^{2}×\frac{1}{9}+(2-\frac{22}{9})^{2}×\frac{1}{3}+(3-\frac{22}{9})^{2}×\frac{5}{9}=\frac{38}{81}.$

小王去自动取款机取款,发现自己忘记了 6 位密码的最后一位数字,他决定从 0～9 中不重复地随机选择 1 个进行尝试,直到输对密码,或者输错 3 次银行卡被锁定为止. 设小王尝试输入该银行卡密码的次数为 $ X $,求 $ X $ 的分布列、均值及方差.
解:由题意,X的可能取值为1,2,3,则$P(X=1)=\frac{1}{10},P(X=2)=\frac{9}{10}×\frac{1}{9}=\frac{1}{10},P(X=3)=\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×1=\frac{4}{5},$所以X的分布列为
X 1 2 3
P $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{4}{5}$
所以均值$E(X)=1×\frac{1}{10}+2×\frac{1}{10}+3×\frac{4}{5}=\frac{27}{10},$方差$D(X)=(1-\frac{27}{10})^{2}×\frac{1}{10}+(2-\frac{27}{10})^{2}×\frac{1}{10}+(3-\frac{27}{10})^{2}×\frac{4}{5}=\frac{41}{100}.$

答案： 解:由题意,X的可能取值为1,2,3,则$P(X=1)=\frac{1}{10},P(X=2)=\frac{9}{10}×\frac{1}{9}=\frac{1}{10},P(X=3)=\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×1=\frac{4}{5},$所以X的分布列为
X 1 2 3
P $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{4}{5}$
所以均值$E(X)=1×\frac{1}{10}+2×\frac{1}{10}+3×\frac{4}{5}=\frac{27}{10},$方差$D(X)=(1-\frac{27}{10})^{2}×\frac{1}{10}+(2-\frac{27}{10})^{2}×\frac{1}{10}+(3-\frac{27}{10})^{2}×\frac{4}{5}=\frac{41}{100}.$

二 离散型随机变量的方差的性质
1. $ D(X + b) = \underline{①D(X)} $；
2. $ D(aX) = \underline{②$a^{2}D(X)$} $；
3. $ D(aX + b) = \underline{③$a^{2}D(X)$} $；
4. $ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $.

答案： ①D(X) ②$a^{2}D(X)$ ③$a^{2}D(X)$

已知 $ X $ 的分布列为

(1) 求 $ X^2 $ 的分布列及均值；
(2) 计算 $ X $ 的方差；
(3) 若 $ Y = 4X + 3 $,求 $ Y $ 的均值和方差.
【解】
(1)由分布列的性质知$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+a=1$,解得$a=\frac{1}{4},$所以$X^{2}$的分布列为
$X^{2}$ 0 1
P $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$
$E(X^{2})=0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$
(2)方法一:由
(1)知$a=\frac{1}{4}$,所以X的均值$E(X)=-1×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.$故X的方差$D(X)=(-1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{2}+(0+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}+(1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}=\frac{11}{16}.$
方法二:由
(1)知$a=\frac{1}{4}$,所以X的均值$E(X)=-1×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4},$$X^{2}$的均值$E(X^{2})=\frac{3}{4}$,所以X的方差$D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\frac{11}{16}.$
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,$D(Y)=4^{2}D(X)=11.$

答案： 【解】
(1)由分布列的性质知$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+a=1$,解得$a=\frac{1}{4},$所以$X^{2}$的分布列为
$X^{2}$ 0 1
P $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$
$E(X^{2})=0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$
(2)方法一:由
(1)知$a=\frac{1}{4}$,所以X的均值$E(X)=-1×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.$故X的方差$D(X)=(-1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{2}+(0+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}+(1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}=\frac{11}{16}.$
方法二:由
(1)知$a=\frac{1}{4}$,所以X的均值$E(X)=-1×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4},$$X^{2}$的均值$E(X^{2})=\frac{3}{4}$,所以X的方差$D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\frac{11}{16}.$
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,$D(Y)=4^{2}D(X)=11.$