《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温 (单位：°C) 有关。如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 $[20,25)$,需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 $X$ (单位：瓶) 的分布列；
(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ (单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量 $n$ (单位：瓶) 为多少时,$Y$ 的均值达到最大值？
(1)由题意得,随机变量X的可能取值为200,300,500,可得$P(X=200)=\frac{2+16}{90}=0.2$,$P(X=300)=\frac{36}{90}=0.4$,$P(X=500)=\frac{25+7+4}{90}=0.4$,所以随机变量X的分布列为X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,所以,只需考虑200≤n≤500,当300＜n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,所以$E(Y)=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n$.当200≤n≤300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,所以$E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n$,所以当n=300时,Y的均值达到最大值,最大值为520元.

答案：
(1)由题意得,随机变量X的可能取值为200,300,500,可得$P(X=200)=\frac{2+16}{90}=0.2$,$P(X=300)=\frac{36}{90}=0.4$,$P(X=500)=\frac{25+7+4}{90}=0.4$,所以随机变量X的分布列为X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,所以,只需考虑200≤n≤500,当300＜n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,所以$E(Y)=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n$.当200≤n≤300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,所以$E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n$,所以当n=300时,Y的均值达到最大值,最大值为520元.

1. 已知随机变量 $X$ 服从两点分布,$E(X)= 0.6$,则其成功概率为(D)
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6

答案： 解析:选D.因为随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,所以$E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.6$.故选D.

2. (多选) (教材 $P_{66}T_1$ 改编) 已知随机变量 $X$ 和 $Y$,其中 $Y = 12X + 7$,且 $E(Y)= 34$,若 $X$ 的分布列如下表：

则下列正确的是(BCD)
A.$E(2X)= \frac{9}{4}$
B.$E(X)= \frac{9}{4}$
C.$m= \frac{1}{3}$
D.$n= \frac{1}{3}$

答案： 解析:选BCD.根据分布列的性质可知m+n=1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$①,因为Y=12X+7,所以$E(Y)=12E(X)+7=34$,解得$E(X)=\frac{9}{4}$,则$E(2X)=2E(X)=\frac{9}{2}$,故A错误,B正确;又由分布列可得$1×\frac{1}{4}+2×m+3×n+4×\frac{1}{12}=\frac{9}{4}$,整理得$2m+3n=\frac{5}{3}$②,联立①②解得m=$\frac{1}{3}$,n=$\frac{1}{3}$,故C,D正确.故选BCD.

3. (教材 $P_{67}T_2$ 改编) 掷一枚质地均匀的骰子,若将掷出的点数记为得分,则得分的均值为 $\frac{7}{2}$。

答案： 解析:设得分为X,则X可能的取值为1,2,3,4,5,6,且$P(X=i)=\frac{1}{6}$,其中i=1,2,3,4,5,6,则得分的均值为$E(X)=1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{6}+6×\frac{1}{6}=\frac{7}{2}$.答案:$\frac{7}{2}$

4. 节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理。根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 $X$ (单位：束) 的统计 (如表) 计算,在今年节日期间进这种鲜花 500 束的利润的均值。

解:节日期间这种鲜花需求量的均值为$E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340$.设利润为Y,则Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以$E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706$.所以在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值为706元.

答案： 解:节日期间这种鲜花需求量的均值为$E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340$.设利润为Y,则Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以$E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706$.所以在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值为706元.