《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第三册人教版青海专用》

(1) 若随机变量 $X$ 服从两点分布,其中 $P(X = 0)= \frac{1}{3}$,则以下正确的是(D)
A.$E(X)= \frac{1}{3}$
B.$E(X)= \frac{2}{5}$
C.$E(2X + 2)= \frac{8}{3}$
D.$E(2X + 1)= \frac{7}{3}$

答案： 解析:选D.因为随机变量X服从两点分布,且$P(X=0)=\frac{1}{3}$,则$P(X=1)=\frac{2}{3}$,故$E(X)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$,故A,B错误;$E(2X+2)=2E(X)+2=\frac{10}{3}$,故C错误;$E(2X+1)=2E(X)+1=\frac{7}{3}$,故D正确.故选D.

(2) 已知 $X$ 的分布列如表所示,且 $Y = aX + 3$,$E(Y)= \frac{5}{3}$,则 $a= $4。

答案： 解析:$E(X)=-1×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}+1×\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$,且Y=aX+3,$E(Y)=aE(X)+3=\frac{5}{3}$,即$-\frac{1}{3}a+3=\frac{5}{3}$,解得a=4.答案:4

(对接教材例 4) 手机碎屏险,即手机碎屏意外保险,是一种随着智能手机的普及,应运而生的保险。为方便手机用户,某品牌手机厂商针对 $A$,$B$ 两款手机推出碎屏险服务,保修期为 1 年,如果手机屏幕意外损坏,手机用户可以享受 1 次免费更换服务,两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：

(1) 某人分别为 $A$,$B$ 款各一部手机购买了碎屏险,已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为 0.05,0.08,手机屏幕意外损坏相互独立。记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为 $X$,求 $X$ 的分布列和均值；
(2) 已知在该手机厂商售出的 $A$,$B$ 两款手机中,分别有 24 000 部和 10 000 部上了碎屏险,两款手机更换屏幕的成本分别为 400 元和 600 元。若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于 50 万元,求 $A$ 款手机的碎屏险费 $a$ 最低应定为多少？(业务收入 = 碎屏险收入 - 屏幕更换成本)
(1)X的可能取值为0,1,2,$P(X=0)=(1-0.05)×(1-0.08)=0.874$,$P(X=1)=0.05×(1-0.08)+(1-0.05)×0.08=0.122$,$P(X=2)=0.05×0.08=0.004$,X的分布列为X 0 1 2 P 0.874 0.122 0.004$E(X)=0×0.874+1×0.122+2×0.004=0.13$,故次数X的均值为0.13.
(2)依题意,可知A,B两款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05=1200(部),10000×0.08=800(部),屏幕更换总成本为1200×400+800×600=960000(元),碎屏险总收入为24000a+10000×50,业务收入为24000a+10000×50-960000=24000a-460000,则24000a-460000≥500000,得a≥40,故A款手机的碎屏险费a最低应定为40元.

答案：
(1)X的可能取值为0,1,2,$P(X=0)=(1-0.05)×(1-0.08)=0.874$,$P(X=1)=0.05×(1-0.08)+(1-0.05)×0.08=0.122$,$P(X=2)=0.05×0.08=0.004$,X的分布列为X 0 1 2 P 0.874 0.122 0.004$E(X)=0×0.874+1×0.122+2×0.004=0.13$,故次数X的均值为0.13.
(2)依题意,可知A,B两款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05=1200(部),10000×0.08=800(部),屏幕更换总成本为1200×400+800×600=960000(元),碎屏险总收入为24000a+10000×50,业务收入为24000a+10000×50-960000=24000a-460000,则24000a-460000≥500000,得a≥40,故A款手机的碎屏险费a最低应定为40元.